Prueba de condiciones de salto de variables en preguntas sobre las condiciones de Blanchar Kahn

Question

Estoy tratando de entender las condiciones de estabilidad del modelo BK (1980). Quiero recordar la configuración para estas condiciones. Tenemos un modelo lineal con un vector de variables predeterminadas ($X_t$) y variables de salto ($P_t$). La característica principal de $X_t$ es que el modelo conoce su camino en el futuro, es decir, $\mathbb{E}[X_{t+i}|\Omega_t] = X_{t+i}\quad \forall i = 0,...,\infty$ y $\Omega_t$ consiste en los caminos de todas las variables para los períodos actuales y anteriores. También hay un vector de variables exógenas $Z_t$. También tenemos condiciones iniciales para $X_{t=0}=X_0$ y no las tenemos para $P_t$.

$X_t \in \mathbb{R}^{n}, P_t \in \mathbb{R}^{m}$. $A$ puede descomponerse en sus valores y vectores propios: $A = C^{-1}JC$. A tiene $\bar{n}$ valores propios que son menores que 1 en módulo y $\bar{m}$ valores propios que son mayores que 1 en módulo.

El resultado principal del papel es que:

1. Si $m = \bar{m}$ entonces el modelo tiene una solución única.
2. Si $m < \bar{m}$ entonces ocurren algunas restricciones lineales ajustadas entre las variables y es probable que el modelo no tenga solución.
3. Si $m > \bar{m}$ el modelo está subdeterminado y hay muchas soluciones.

Después de leer el papel tengo varias preguntas:

1. ¿Cuál es la diferencia económica entre las variables predeterminadas y las variables de salto? Por ejemplo, si quiero construir un modelo multivariante simple de la economía, ¿cómo decido qué variable entrará en las ecuaciones con el operador de expectativa y cuál no?

2. ¿Por qué no tenemos condiciones iniciales para $P_t$? No parece plausible que no podamos obtenerlas.

3. Si no tengo variables de salto en el modelo, ¿se deduce que no debo tener ningún valor propio de A mayor que 1?

Podemos transformar linealmente nuestras variables con la descomposición de la matriz $A$:

En la prueba de BK (1980) se basa en el hecho de que para $X_t$ hay valores límite y $Q_t$ se determina a partir de la ecuación:

La prueba del hecho de que un modelo "bueno" debe tener $\bar{m} = m$ se basa en la ecuación:

donde $X_0$ es conocido, $Q_0$ se determina. Por lo tanto, si tenemos $\bar{m} = m$, entonces podemos encontrar un $Y_0$ único y luego iterarlos hacia adelante.

Luego, si tenemos $\bar{m} = m = 0$, es decir, sin variables de salto, entonces la ecuación anterior se convierte en $X_0 = C^{-1} Y_0$, el término $B_2 Q_0$ desaparece y $Y_0$ se determina.

Sin embargo, si $\bar{m} > 0$, entonces el modelo parece estar subdeterminado como en el papel, porque nuevamente tenemos $X_0 = B_{1} Y_0 + B_{2} Q_0$. Allí, $B_{1}$ tiene más columnas que filas lo que hace que $Y_0$ esté sobredeterminado.

¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

Puedo proporcionar respuestas a las tres preguntas numeradas.

$\textbf{Punto 1}$ La diferencia entre variables predeterminadas y variables de salto no radica en si tienen un operador de expectativa alrededor de ellas. Más bien, las variables de salto - también conocidas como variables de control - son aquellas que podemos alterar en el tiempo $t$ (haciendo que 'salten' de valor, de ahí el nombre). Por otro lado, las variables predeterminadas - también conocidas como variables de estado - no pueden cambiarse en el tiempo $t$. Es importante enfatizar que si una variable es un estado, un control o un estado depende del período de tiempo desde el que lo visualizamos. El capital en el tiempo $t$ puede ser una variable de estado, pero este nivel de capital fue elegido como una variable de control en el tiempo $t-1$ basado en alguna decisión de inversión.

La distinción entre estado y control suele ser clara desde el contexto del modelo. Creo que un ejemplo ayudaría. Tomemos el siguiente modelo NK de tres ecuaciones $$\begin{align} \tilde{y}_t &= \mathbb{E}_t[\tilde{y}_{t+1}]-\frac{1}{\sigma}(i_t-\mathbb{E}_t[\pi_{t+1}]-r_t^n) \\ \pi_t &= \beta \mathbb{E}_t[\pi_{t+1}]+\kappa \tilde{y}_t \\ i_t &= \gamma i_{t-1} + (1-\gamma)(\phi_{\pi}\pi_t +\phi_{y}\tilde{y}_t)+v_t\end{align}$$ donde $r_t^n$ y $v_t$ son procesos AR(1). Este es un sistema lineal, por lo que podemos verificar la unicidad y estabilidad con las condiciones de Blanchard-Khan.

Para determinar qué variables son predeterminadas y cuáles son de salto, visualizamos las cosas desde un punto fijo del tiempo $t$. Esto es importante ya que una variable puede ser una variable de salto en el tiempo $t$ pero una variable predeterminada en el tiempo $t+1$. En el tiempo $t$, la tasa de interés en el tiempo $t-1$ es conocida y no puede ser alterada, por lo que $i_{t-1}$ es predeterminada en el tiempo $t$. Sin embargo, $\tilde{y}_t$, $\pi_t$ e $i_t$ son indeterminadas en el tiempo $t$, ya que cada una se elige para cumplir con las condiciones de optimalidad de los hogares y empresas, junto con la respuesta de política del banco central. Observa que hay una distinción entre $i_{t-1}$ y $i_t$, siendo una una variable predeterminada en el tiempo $t$ mientras que la otra es una variable de salto en el tiempo $t$. Esto sucede porque $i_t$ es una variable de estado/predeterminada endógena: $i_t$ se elige en el tiempo $t$ y posteriormente es una variable de estado/predeterminada en el tiempo $t+1$.

$\textbf{Punto 2}$ La razón por la que no tenemos condiciones iniciales en $P_t$ es porque estas son nuestras variables de control. Por lo tanto, $P_0$ debería seguir de las condiciones de optimalidad. Por ejemplo, en un modelo RBC simple (no linealizado), las condiciones de optimalidad son la ecuación de Euler para el consumo, la restricción presupuestaria y dos condiciones límite $$\begin{align*} \frac{c_t^{-\sigma}}{\beta c_{t+1}^{-\sigma}}&=F'(k_{t+1})+1-\delta \\ k_{t+1}&=AF(k_t)-\delta k_t -c_t \\ k_0&=\hat{k}_0 \\ \lim_{\tau \to \infty}\beta^{\tau}c_{\tau}^{-\sigma}k_{\tau+1}&=0 \end{align*}$$ Aunque se nos da explícitamente $k_0$ en este sistema, no se nos da $c_0$. Sin embargo, teóricamente podemos calcular el $c_0$ óptimo a partir de este sistema. Hacemos esto iterando desde $k_0$ entre la restricción presupuestaria y la ecuación de Euler antes de imponer la condición de límite de manera transversal en el infinito. Esto define implícitamente el $c_0$ óptimo aunque generalmente es imposible obtener una expresión analítica exacta para $c_0$.

$\textbf{Punto 3}$ Sí, si todas las variables son predeterminadas en el tiempo $t$, entonces todos los autovalores deben estar en el disco unitario para la unicidad y estabilidad. Si todas las variables son predeterminadas entonces nuestro sistema es una relación de recurrencia estándar de la forma $$x_{t+1}=Ax_t +b_t \qquad x_0=\bar{x}_0$$ Por lo tanto, para cualquier $T\in \mathbb{N}\cup \{0\}$, podemos usar inducción hacia atrás para obtener $$x_T=A^{T}x_0+\sum_{i=0}^TA^ib_i$$ Si algún autovalor de $A$ está fuera del disco unitario, entonces esto explota a medida que $T\to \infty$. Si todos los autovalores de $A$ están dentro del disco unitario, entonces $A^Tx_0$ converge y la condición (1c) en el documento de Blanchard-Khan asegura que el segundo término también converge, lo que significa que el sistema converge a un punto único a medida que $T\to \infty$.