Estoy tratando de entender las condiciones de estabilidad del modelo BK (1980). Quiero recordar la configuración para estas condiciones. Tenemos un modelo lineal con un vector de variables predeterminadas (Xt) y variables de salto (Pt). La característica principal de Xt es que el modelo conoce su camino en el futuro, es decir, E[Xt+i|Ωt]=Xt+i∀i=0,...,∞ y Ωt consiste en los caminos de todas las variables para los períodos actuales y anteriores. También hay un vector de variables exógenas Zt. También tenemos condiciones iniciales para Xt=0=X0 y no las tenemos para Pt.
Xt∈Rn,Pt∈Rm. A puede descomponerse en sus valores y vectores propios: A=C−1JC. A tiene ˉn valores propios que son menores que 1 en módulo y ˉm valores propios que son mayores que 1 en módulo.
El resultado principal del papel es que:
- Si m=ˉm entonces el modelo tiene una solución única.
- Si m<ˉm entonces ocurren algunas restricciones lineales ajustadas entre las variables y es probable que el modelo no tenga solución.
- Si m>ˉm el modelo está subdeterminado y hay muchas soluciones.
Después de leer el papel tengo varias preguntas:
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¿Cuál es la diferencia económica entre las variables predeterminadas y las variables de salto? Por ejemplo, si quiero construir un modelo multivariante simple de la economía, ¿cómo decido qué variable entrará en las ecuaciones con el operador de expectativa y cuál no?
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¿Por qué no tenemos condiciones iniciales para Pt? No parece plausible que no podamos obtenerlas.
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Si no tengo variables de salto en el modelo, ¿se deduce que no debo tener ningún valor propio de A mayor que 1?
Podemos transformar linealmente nuestras variables con la descomposición de la matriz A:
En la prueba de BK (1980) se basa en el hecho de que para Xt hay valores límite y Qt se determina a partir de la ecuación:
La prueba del hecho de que un modelo "bueno" debe tener ˉm=m se basa en la ecuación:
donde X0 es conocido, Q0 se determina. Por lo tanto, si tenemos ˉm=m, entonces podemos encontrar un Y0 único y luego iterarlos hacia adelante.
Luego, si tenemos ˉm=m=0, es decir, sin variables de salto, entonces la ecuación anterior se convierte en X0=C−1Y0, el término B2Q0 desaparece y Y0 se determina.
Sin embargo, si ˉm>0, entonces el modelo parece estar subdeterminado como en el papel, porque nuevamente tenemos X0=B1Y0+B2Q0. Allí, B1 tiene más columnas que filas lo que hace que Y0 esté sobredeterminado.
¿Estoy en lo correcto?