He escuchado repetidamente la afirmación de que solo un descuento exponencial es el racional, sin embargo nunca he visto la prueba. ¿Por qué es así?
Intuitivamente, esperaríamos un descuento exponencial ya que el crecimiento económico (y el interés compuesto) es exponencial, pero es meramente una intuición.
También agradecería una referencia que pudiera citar.
Para ver que el descuento exponencial es (más o menos) la única manera consistente en el tiempo para descontar el futuro, considere un tomador de decisiones que obtiene un nivel de utilidad (pago) en el período $t$ y en el período $t+1$. Suponga que el valor total de estos se evalúa de acuerdo con el valor de: $$ \alpha(t) u_t + \alpha(t+1) u_{t+1}, $$ donde $u_t$, $u_{t+1}$ son las utilidades obtenidas en los períodos $t$ y $t+1$ y $\alpha(t), \alpha(t+1)$ son las tasas de descuento de los períodos $t$ y $t+1$. Tenga en cuenta que esto asume separabilidad aditiva a lo largo del tiempo y separabilidad multiplicativa de la utilidad y el descuento (preferencia temporal).
Suponga que el consumidor es indiferente entre los diferentes pagos $(u_t, u_{t+1})$ y $(v_t, v_{t+1})$ (digamos, por ejemplo, $u_t > v_t$ y $v_{t+1} > u_{t+1}$).
Entonces: $$ \alpha(t) u_t + \alpha(t+1) u_{t+1} = \alpha(t) v_t + \alpha(t+1) v_{t+1}. $$ Ahora suponga que ha pasado un período. Si el tomador de decisiones es consistente en el tiempo, sigue pensando que $(u_t, u_{t+1})$ es igual de bueno que $(v_t, v_{t+1})$, por lo que: $$ \alpha(t-1) u_t + \alpha(t) u_{t+1} = \alpha(t-1) v_t + \alpha(t) v_{t+1}. $$ Usando estas dos condiciones, encontramos que: $$ \frac{\alpha(t+1)}{\alpha(t)} = \frac{\alpha(t)}{\alpha(t-1)} \left(= \frac{u_t - v_t}{v_{t+1} - u_{t+1}}\right). $$ Podemos generalizar esto (esperando más períodos) y mostrar que esta condición debe cumplirse para cualquier valor de $t$. En otras palabras, la relación $\frac{\alpha(t)}{\alpha(t-1)}$ debería ser una constante independiente de $t$. Llamemos a este número $\delta$.
Entonces tenemos: $$ \begin{align*} \alpha(t) &= \frac{\alpha(t)}{\alpha(t-1)} \frac{\alpha(t-1)}{\alpha(t-2)} \ldots \frac{\alpha(1)}{\alpha(0)} \alpha(0),\\ &= \underbrace{\delta\, \delta \ldots \delta}_{t \text{ veces }} \, \alpha(0),\\ &= \alpha(0) \delta^t. \end{align*} $$ Normalizando $\alpha(0) = 1$, obtenemos que $\alpha(t) = \delta^t$, lo que da como resultado el descuento exponencial.
Cualquier descuento que produzca preferencias coherentes en el tiempo puede considerarse un descuento racional.
Para comprobar si la utilidad intertemporal con cualquier factor de descuento es coherente en el tiempo, es necesario verificar si el agente querría desviarse de su plan de acción en períodos de tiempo posteriores.
Por ejemplo, si obtenemos un resultado donde ex-ante en los períodos 1, 2 y 3, el jugador elegiría algún $x_1^*=a$, $x_2^*=b$ y $x_3^*=c$, y cuando pasamos al periodo 2, $x_2^*=b$ y $x_3^*=c$ siguen siendo óptimos, y en el periodo 3 $x_3^*=c$ sigue siendo óptimo, tenemos una preferencia racional en el tiempo y podríamos llamar racional a cualquier factor de descuento asociado.
Un ejemplo de tales preferencias racionales que probablemente estás pensando es una preferencia dada por la utilidad:
$$U(x_t) = \sum_{t=1}^n \delta^{t-1} u(x_t) $$
Puedes comprobar por ti mismo que para la utilidad anterior el plan de un agente no cambiará en ningún período de tiempo. La prueba es trivial, deberías intentarlo por ti mismo. Si te resulta demasiado difícil, comienza probándolo para t=2. Extenderlo a t arbitrario debería ser natural después.
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