Causalidad de Granger-Sims y diferencias sutiles

Question

Para un proceso bivariado $(\textbf{X},\textbf{Y})=( (X_t, Y_t)^\top, t\in\mathbb{Z})$, decimos que el proceso $\textbf{X}$ causa a Sims el proceso $\textbf{Y}$ (notación $\textbf{X}\overset{Sims}{\to}\textbf{Y}$), si $$ (Y_{t+s}, s\geq 1)\not\perp X_t \mid X_{past(t-1)}, Y_{past(t)}, Z_{past(t)}, \text{ para todo }t\in\mathbb{Z}, $$ donde $past(t) = (t, t-1, \dots)$, $\perp$ significa independencia y $Z$ son todas las variables relevantes (causalmente suficientes).

Considera mi nueva definición: decimos que el proceso $\textbf{X}$ N-causa al proceso $\textbf{Y}$ (notación $\textbf{X}\overset{N}{\to}\textbf{Y}$), si $$ (Y_{t+s}, s\geq 1)\not\perp X_t \mid Y_{past(t)}, Z_{past(t)}, \text{ para todo }t\in\mathbb{Z}. $$

La diferencia es que omitimos $\textbf{X}$ en el conjunto de condicionantes.

¿Puedes darme un ejemplo cuando $\textbf{X}\overset{N}{\to}\textbf{Y}$ pero $\textbf{X}\overset{Sims}{\not\to}\textbf{Y}$? ¿O viceversa? Siento que en la gran mayoría de procesos aleatorios, estas definiciones deberían ser equivalentes. ¿Puedes encontrar una condición bajo la cual las definiciones son equivalentes?

Answer 1

Sea $\mathbf{X}$ condicionalmente iid en $\{0,1\}$ con distribución $(P,1-P)$, siendo $P$ una variable aleatoria no trivial. Sea $Y_t=\limsup_{T\to\infty} T^{-1}\sum_{i=1}^TX_{t-i}$. Entonces $\textbf{X}\overset{N}{\to}\textbf{Y}$ pero no $\textbf{X}\overset{\text{Sims}}{\to}\textbf{Y}$.

Aquí hay un ejemplo que muestra que la otra dirección tampoco tiene por qué cumplirse:

Sea $\mathbf{X}$ iid uniforme en $\{0,1\}$ y sea $Y_{t+1}=X_t+X_{t-1}\mod 2$. Entonces $\textbf{X}\overset{\text{Sims}}{\to}\textbf{Y}$ pero no $\textbf{X}\overset{N}{\to}\textbf{Y}$.