¿Cómo resolver este problema de producción agregada?

Question

Considera un continuo de empresas indexadas por $a\in [0,1]$ y que $a$ está distribuido uniformemente. Una empresa de tipo $a$ tiene un conjunto de producción $Y^n$ como se muestra en la figura a continuación. Ten en cuenta que el bien 1 se utiliza como insumo para producir el bien 2. Supongamos que el precio del insumo (bien 1) está fijado en $w=1$ mientras que el precio de la producción es $p>0$.

¿Cómo debería obtener la demanda de insumos y la oferta de producción de una empresa de tipo $a$ cuando el precio de la producción es $p$? ¿Y cuál es la demanda promedio de insumos y la oferta de producción cuando el precio de la producción es $p$? ¿Y cuál es el conjunto de producción agregado (o promedio)?

Answer 1

Veamos primero el beneficio de una sola empresa con parámetro $a$. Denotemos por $x = -y_1$ la entrada y por $f(x) = y_2$ la salida.

La función de producción es la siguiente: $$ f(x) = \begin{cases} 0 &\text; si & x < a,\\ x - a &\text; si & a \le x \le 1+a,\\ 1 &\text; si & x > 1+a\end{cases} $$

La empresa optimiza beneficios: $$ x^\ast = \arg\max_x p f(x) - x. $$

Esto se puede resolver mirando varios escenarios y tomando el mejor (maximización de beneficios).

1. si $x^\ast < a$ entonces los beneficios son $p 0 - x^\ast$, así que es mejor colocar $x^\ast = 0$.
2. si $a \le x^\ast \le 1+a$ entonces los beneficios son $p(x^\ast - a) - x^\ast= (p-1)x^\ast - pa$. Si $p > 1$ entonces los beneficios aumentan en $x^\ast$ así que es mejor colocar $x^\ast = 1+a$ y los beneficios serán $p - 1 - a$. Si $p < 1$, entonces es mejor poner $x^\ast = a$ y los beneficios serán $-a$ (lo cual es negativo). En este último caso, será mejor no producir nada.
3. si $x^\ast \ge 1+a$ entonces los beneficios son $p - x^\ast$ así que aquí es óptimo poner $x = 1+a$ y los beneficios están dados por $p - 1 - a$.

Por lo tanto, vemos que los beneficios son iguales a $p-1-a$ con una demanda óptima de $x^\ast = 1+a$ o igual a cero con una demanda óptima de $x^\ast = 0$.

El primero será óptimo si $a \le p-1$, mientras que el segundo será óptimo si $a > p-1$. Esto da la siguiente demanda óptima para una empresa con parámetro $a$: $$ x^\ast = \begin{cases} 1+a &\text; si & a\le p-1 \\ 0 &\text; si & a > p-1\end{cases} $$

Ahora vamos a derivar la demanda agregada óptima. Si $p < 1$ entonces $a \ge 0 > p-1$ así que ninguna empresa demandará nada: la demanda agregada es cero.

Si $p > 2$ entonces $a \le 1 \le p - 1$ así que la empresa de tipo $a$ demandará $1+a$. La demanda agregada está dada por: $$ \int_0^1 (1+a) da = [a + a^2/2]^1_0 = \frac{3}{2}. $$

Si $1 \le p \le 2$ entonces las empresas con $a \le p-1$ demandarán $1+a$ y las empresas con $a > p-1$ no demandarán nada. Por lo tanto, la demanda agregada es: $$ \begin{align*} \int_0^{p-1} (1+a) da &= [a + a^2/2]^{(p-1)}_0 \\ &= (p-1) + \frac{(p-1)^2}{2} \\ &= p-1 + \frac{p^2}{2} - \frac{2p}{2} + \frac{1}{2},\\ & = \frac{p^2}{2} - \frac{1}{2}. \end{align*} $$

Obtenemos $$ \text{demanda agregada} = \begin{cases} 0 &\text; si & p < 1\\ \frac{p^2}{2} - \frac{1}{2} &\text; si & 1 \le p \le 2\\ \frac{3}{2} &\text; si & p > 2.\end{cases} $$

La demanda agregada se muestra a continuación.

Answer 2

Observando la curva de iso-beneficio más alta posible que pasa por el conjunto factible, obtenemos la oferta de $y_2$ y la demanda de $y_1$ de la siguiente manera. Aquí la curva de iso-beneficio es un conjunto de pares $(y_1, y_2)$ que produce el mismo nivel de beneficio dado $p$.

Entonces, \begin{eqnarray*} (y_1^d, y_2^s)(p) \in \begin{cases}\{(0,0),(1+a,1)\} & \text{si } p = 1+a \\ \{(1+a,1)\} & \text{si } p > 1+a \\ \{(0,0)\} & \text{si } p < 1+a \end{cases} \end{eqnarray*}

La correspondiente ganancia óptima es

\begin{eqnarray*} \pi(p) = \max(0, p - (1+a)) \end{eqnarray*}

Dado que $a\sim\text{Unif}(0,1)$, la demanda agregada de insumos es \begin{eqnarray*}Y_1^d(p) = \int_0^1 y_1^d(p)da = \begin{cases} \int_0^{1} (1+a)da = \frac{3}{2} & \text{si } p \geq 2 \\ 0 & \text{si } p \leq 1 \\ \int_0^{p-1} (1+a)da = \dfrac{(p-1)(p+1)}{2} & \text{si } 1 < p < 2\end{cases} \end{eqnarray*}

La oferta agregada de producción es \begin{eqnarray*}Y_2^s(p) = \int_0^1 y_2^s(p)da = \begin{cases} \int_0^{1} da = 1 & \text{si } p \geq 2 \\ 0 & \text{si } p \leq 1 \\ \int_0^{p-1} da = p-1 & \text{si } 1 < p < 2\end{cases} \end{eqnarray*}