En un documento de Cyert y Degroot (1974) (Expectativas Racionales y Análisis Bayesiano, en el Journal of Political Economy), los autores utilizan una actualización bayesiana para un parámetro incierto. Tienen un modelo de precios como sigue
$$p_{t+1}=ap_{t}+v_{t+1}$$
donde $v_1$, $v_2$,... forman una secuencia de términos de error iid. El parámetro en el que hay una actualización bayesiana es $a$. $r$ es la precisión conocida de la señal (de la ecuación de precios). Encuentran la siguiente regla de actualización para la media y la varianza de $a$
$$m_{t+1}=\frac{h_{t}m_{t}+rp_{t}p_{t+1}}{h_{t}+r\left(p_{t}\right)^{2}}$$
y
$$h_{t+1}=h_{t}+r\left(p_{t}\right)^{2}$$
Tengo problemas para encontrar estos valores. Esto es lo que he intentado; Dicen que usan conjugados previos para encontrar estas reglas de actualización. Así, el posterior
$$p\left(a\mid p_{t+1}\right)\propto p\left(a\right)p\left(p_{t+1}\mid a\right)$$$ $
donde
$$p\left(a\right)=\left(2\pi\sigma_{0}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\text{exp}\left(-\frac{1}{2\sigma_{0}^{2}}\left(a-a_{0}\right)^{2}\right)$$
y
$$p\left(p_{t+1}\mid a\right)=\left(2\pi\sigma_{c}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\text{exp}\left(-\frac{1}{2\sigma_{c}^{2}}\left(p_{t+1}-a\right)^{2}\right)$$
Así que utilizando estas dos últimas expresiones, escribo
$$p\left(a\right)p\left(p_{t+1}\mid a\right)\propto exp\left(-\frac{1}{2\sigma_{0}^{2}}\left(a-a_{0}\right)^{2}-\frac{1}{2\sigma_{c}^{2}}\left(p_{t+1}-a\right)^{2}\right)$$
donde la precisión conocida y constante $\frac{1}{\sigma_{c}^{2}}=r$ y la precisión variable en el tiempo $\frac{1}{\sigma_{0}^{2}}=h_{0}$
y termino con esto
$$p\left(a\right)p\left(p_{t+1}\mid a\right)\propto exp\left(-\frac{h_{0}}{2}\left(a^{2}-2aa_{0}+a_{0}^{2}\right)-\frac{r}{2}\left(p_{t+1}^{2}-2p_{t+1}a+a^{2}\right)\right) \overset{\text{def}}{=}\text{exp}\left(-\frac{h_{1}}{2}\left(a-a_{1}\right)^{2}\right)$$
No puedo llegar a términos como $p_t^2$ y $p_t p_t+1$. ¿Qué me falta? Cualquier pista/sugerencia o solución es apreciada, ¡gracias!
