¿Podrías ilustrar por qué un proceso de caminata aleatoria sin término constante exhibe estacionariedad en su primer momento pero no en el segundo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primero, recuerde que un proceso estocástico $\{ Y_t \}$ es débilmente estacionario si :
$i)$ La primera momento es independiente del tiempo y finito, es decir, $E(Y_t) \equiv \mu < \infty$
$ii)$ La varianza es independiente del tiempo y finita, es decir, $Var(Y_t) = E[(Y_t - \mu)^2] \equiv \gamma_0 < \infty$
$iii)$ La autocovarianza solo depende del orden de rezago $j$, es decir, $Cov(Y_t,Y_{t-j}) = E[ (Y_t - \mu) (Y_{t-j} - \mu)] \equiv \gamma_j$
Considere el siguiente proceso de caminata aleatoria sin el término constante: \begin{equation} Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t \end{equation}
Ahora, considere $Y_{1}=Y_{0} + \epsilon_1$
$Y_{2}=Y_{1} + \epsilon_2$
$Y_{3}=Y_{2} + \epsilon_3$
Detengámonos aquí, y usando la expresión de $Y_1$ y $Y_2$ en $Y_3$ y asumiendo que $Y_0=0$, entonces
$Y_3= \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3$
Generalizando la última ecuación
\begin{equation} Y_t = \sum_{j=1}^{t} \epsilon_j \end{equation}
Si calcula los momentos, recordando que $\epsilon_t$ es un proceso de ruido blanco y por lo tanto tiene media cero y varianza constante, es decir, $\epsilon_t \sim i.i.d (0,\sigma^2)$ tienes
\begin{equation} \mathbb{E}(Y_t) = \mathbb{E}(\sum_{j=1}^{t} \epsilon_j) =0 \end{equation} y el proceso es estacionario en media. No será estacionario en varianza. De hecho, \begin{equation} \mathbb{Var}(Y_t) = \sigma^2 \sum_{j=1}^{t} = t \sigma^2 \end{equation} Como puede ver, la varianza aumenta con $t$, haciendo que la varianza sea infinitamente grande a medida que $t \rightarrow \infty$. Por lo tanto, ${Y_t}$ no es estacionario en varianza. Por lo tanto, el proceso no es débilmente estacionario.
