Resolviendo la maximización de la utilidad, y encontrando la función de demanda

Question

Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad $$u(x_1,x_2)=2x_1x_2+x_1+2x_2$$ Quiero maximizar su función de utilidad. $$max: 2x_1x_2+x_1+2x_2. uc:p_1x_1+p_2x_2=y_A$$ Utilizando Lagrange, obtengo $$L(x_1,x_2,\lambda)=2x_1x_2+x_1+2x_2-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-y_A)$$ Luego obtengo las condiciones de primer orden: $$\frac{d L}{d x_1}= 2x_2+1-\lambda p_1=0$$ $$\frac{d L}{d x_2}= 2x_1+2-\lambda p_2=0$$ $$\frac{d L}{d \lambda}= y_A-p_1x_1-p_2x_2=0$$

Pero no estoy seguro de cómo encontrar las funciones de demanda, es decir, aislando $x_1$ y $x_2$. He intentado dividir los dos primeros términos entre sí, pero estoy bastante atascado en este punto, y agradecería mucho una pista sobre cómo proceder.

EDITAR: Lo he resuelto gracias a una pista que recibí en este sitio web, pero tengo una pregunta final: Mi asistente me dijo que era importante recordar que esta función de utilidad es cuasi-cóncava, pero no entiendo por qué me lo diría. Considerando que mi única tarea es maximizar la utilidad y encontrar la función de demanda.

Answer 1

Compruebe que la siguiente función de utilidad también representa la misma preferencia que la de la pregunta:

$u(x_1,x_2)=(x_1+1)(2x_2+1)$

Resolviendo

$\max_{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2_+} (x_1+1)(2x_2+1)$ sujeto a $p_1x_1+p_2x_2\leq M$

obtenemos

\begin{eqnarray*} (x_1^d,x_2^d)(p_1,p_2,M)=\begin{cases}\left(0,\dfrac{M}{p_2}\right) & \text{si } \dfrac{M}{p_2}+\dfrac{1}{2}<\dfrac{p_1}{p_2} \\ \left(\dfrac{M}{p_1},0\right) & \text{si } \dfrac{1}{2\left(\dfrac{M}{p_1}+1\right)}>\dfrac{p_1}{p_2} \\ \left(\dfrac{M}{2p_1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{p_2}{4p_1},\dfrac{M}{2p_2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{p_1}{2p_2}\right)& \text{si } \dfrac{1}{2\left(\dfrac{M}{p_1}+1\right)}\leq \dfrac{p_1}{p_2}\leq \dfrac{M}{p_2}+\dfrac{1}{2}\end{cases} \end{eqnarray*}