¿Podemos definir el núcleo como la intersección de asignaciones eficientes de Pareto y conjuntos de contorno superior?

Question

Supongamos que una economía tiene $n$ agentes, cada uno con una dotación $\omega_i$. Sus preferencias están representadas por la función cuasicóncava y creciente $u_i$. Sea el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto $E$ y sea $C_i$ el conjunto de contorno superior para $u_i(\omega_i)$ para todo $i$.

Mi pregunta es: ¿podemos definir el núcleo como la intersección de $E$ y todos los $C_i$, así $core = E \cap \left(\bigcap_{i = 1}^n C_i\right)$? Creo que esta definición funciona cuando $n = 2$, ¿pero qué pasa cuando $n > 2$?

Answer 1

Supongamos que hay tres individuos $A, B, C$ y tres bienes $x, y, z$. El endowment para $A$ es $(1,0,0)$ para $B$ es $(0,1,0)$ y para $C$ es $(0,0,1)$.

Supongamos que las funciones de utilidad para los individuos son: $$ u^A(x,y,z) = xy + z, u^B(x,y,z) = x + yz, U^C(x,y,z) = xz + y $$ Las utilidades en los endowments son $$ u^A(1,0,0) = 0, u^B(0,1,0) = 0, u^C(0,0,1) = 0. $$ Ahora consideremos la asignación donde $A$ recibe $(0,0,0)$, $B$ recibe $(1,1,1)$ y $C$ recibe $(0,0,0)$. Esto da como resultado las utilidades: $$ u^A(0,0,0) = 0, u^B(1,1,1) = 2, u^C(0,0,0) = 0, $$ Por lo tanto, estas asignaciones son individualmente racionales. También es claro que esto es Pareto eficiente ya que cualquier reasignación disminuiría la utilidad de $B$.

Sin embargo, cabe destacar que la coalición $\{A, C\}$ tiene una desviación rentable. Por ejemplo, podrían intercambiar sus endowments, de modo que $A$ consuma $(0, 0, 1)$ y $C$ consuma $(1, 0,0)$, dándoles a ambos una utilidad igual a 1. Por lo tanto, la asignación Pareto eficiente e individualmente racional mencionada anteriormente no está en el núcleo.