Si la función de utilidad es homogénea de orden 1, entonces las derivadas parciales de la función de demanda son iguales

Question

Demuestra que si $U(\alpha x)=\alpha U(x)$, entonces $$\frac{\partial x_i(p,w)}{\partial p_j}=\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_i}$$ para cualquier $i$ y $j$.

He demostrado que $x(p,\alpha w)=\alpha x(p,w)$, pero no sé cómo manejar las derivadas parciales.

Answer 1

Para mayor facilidad de notación, consideremos el caso de dos bienes $x_1$ y $x_2$. El caso es similar cuando hay más de dos bienes.

Si la utilidad es homogénea, las funciones de demanda son homogéneas de grado 1 en ingresos, entonces para todo $w$, $x_1(p_1, p_2, w) = x_1(p_1, p_2,1) w$ y $x_2(p_1, p_2, w) = x_2(p_1, p_2, 1)w$. Tomar derivadas con respecto a $w$ da como resultado: $$ \frac{\partial x_1}{\partial w}(p_1, p_2, w) = x_1(p_1, p_2,1), $$ y $$ \frac{\partial x_2}{\partial w}(p_1, p_2, w) = x_2(p_1, p_2,1). $$

Sea $h_1(p_1,p_2, u)$ y $h_2(p_1, p_2,u)$ las funciones de demanda hicksiana. La ecuación de Slutsky nos da: $$ \begin{align*} \frac{\partial h_1}{\partial p_2}(p_1, p_2, u) &= \frac{\partial x_1}{\partial p_2}(p_1, p_2, w) + \frac{\partial x_1}{\partial w}(p_1, p_2, w) x_2(p_1, p_2, w),\\ &=\frac{\partial x_1}{\partial p_2}(p_1, p_2, w) + w\,\, x_1(p_1, p_2,1)x_2(p_1, p_2, 1). \end{align*} $$ De forma similar, $$ \begin{align*} \frac{\partial h_2}{\partial p_1}(p_1, p_2, u) &= \frac{\partial x_2}{\partial p_1}(p_1, p_2, w) + \frac{\partial x_2}{\partial w}(p_1, p_2, w) x_1(p_1, p_2, w),\\ &=\frac{\partial x_2}{\partial p_1}(p_1, p_2, w) + w\,\, x_1(p_1, p_2,1)x_2(p_1, p_2, 1). \end{align*} $$ Por la simetría de la matriz Slutsky, tenemos que $\frac{\partial h_1}{\partial p_2} = \frac{\partial h_2}{\partial p_1}$. Esto nos da: $$ \begin{align*} &\frac{\partial x_1}{\partial p_2}(p_1, p_2, w) + w\,\, x_1(p_1, p_2,1)x_2(p_1, p_2, 1) = \frac{\partial x_2}{\partial p_1}(p_1, p_2, w) + w\,\, x_1(p_1, p_2,1)x_2(p_1, p_2, 1),\\ \leftrightarrow &\frac{\partial x_1}{\partial p_2}(p_1, p_2, w) = \frac{\partial x_2}{\partial p_1}(p_1, p_2, w). \end{align*} $$