Realmente estoy luchando por entender cómo funcionan la Función Hamiltoniana y el Principio del Máximo de Pontryagin en el contexto del curso de Teoría del Control Óptimo (Matemáticas para Economistas). Se me dan las siguientes condiciones:
$$ \quad\space\max_{u} \mathcal{F} = \int_{t_0}^{t_f} f(x(t), u(t), t) \, dt + S(x_f) \tag{1.1} $$
$$ \begin{cases} \begin{array}{l} \dot x(t) = g(x(t),u(t),t) \\ x(t_i)=x_i \\ x(t_f)=x_f \\ \end{array} \end{cases} \qquad \begin{array}{l} \text(restricciones) \\ \text(conocido) \\ \text(desconocido) \\ \end{array} \tag{1.2} $$
$$ \begin{cases} \begin{array}{l} \overline{x} = (x_1,x_2,\dots,x_n) \\ \overline{u} = (u_1,u_2,\dots,u_n) \\ \overline{g} = (g_1,g_2,\dots,g_n) \\ \end{array} \end{cases} \qquad\quad \begin{array}{l} \text(variables de estado) \\ \text(variables de control) \\ \text(funciones de restricción) \\ \end{array} \tag{1.3} $$
Hasta ahora entiendo que construimos el Hamiltoniano $\mathcal{H}$ a partir del Funcional Hamiltoniano $\mathcal{L}$ y las funciones costate $\lambda$ de manera que:
$$ \mathcal{H}(x,u,t,\lambda) = f(x,u,t) + {\lambda}(g(x,u,t)) \tag{2.1} $$
Luego, encontramos las ecuaciones del Hamiltoniano para las variables de estado $x$ y costate $\lambda$:
$$ \begin{cases} \dot{x} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \\ \dot{x}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_i} \quad \text{para} \quad n > 1 \end{cases} \tag{3.1} $$
$$ \begin{cases} \dot{\lambda} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} \\ \dot{\lambda}_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_i} \quad \text{para} \quad n > 1 \\ \lambda_f = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_f} S(x_f) \end{cases} \tag{3.2} $$
Luego se nos instruye a resolver utilizando el Principio del Máximo de Pontryagin:
$$ \text{Si } m = 1 \begin{cases} \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u} = 0\\ \frac{\partial^2 \mathcal{H}}{\partial u^2} < 0 \\ \end{cases} \tag{4.1} $$
$$ \text{Si } m > 1 \begin{cases} \nabla \mathcal{H} = \overline{0} \\ \nabla^2 \mathcal{H} < 0 \quad \text{para} \quad \text{impar } |M_H| \\ \nabla^2 \mathcal{H} > 0 \quad \text{para} \quad \text{par } |M_H| \\ \end{cases} \tag{4.2} $$
Finalmente, se nos dice que si solo tenemos las condiciones iniciales $x(t) = x_i$, entonces:
$$ \begin{cases} x(t_i) = x_i \\ \lambda(t_f) = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_f} S(x_f) \quad \text{(condición de transversalidad)} \\ \end{cases} \tag{5.1} $$
Mientras que, si tenemos condiciones iniciales y de frontera, entonces:
$$ \begin{cases} x(t_i) = x_i \\ x(t_f) = x_f \\ \end{cases} \tag{5.2} $$
Fallo en entender los siguientes puntos:
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En las ecuaciones hamiltonianas para las variables de estado 3.1, ¿de dónde proviene la segunda ecuación y cómo pasó de ser la derivada de $\mathcal{H}$ con respecto a $\lambda$ a ser la derivada de $\mathcal{H}$ con respecto a $\mathcal{x_i}$? ¿No debería derivar también respecto a $\lambda$?
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En las ecuaciones hamiltonianas para las variables de costate 3.2, ¿de dónde viene $\lambda_f$? ¿Cuándo se utiliza?
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En las ecuaciones 4.1 y 4.2, ¿qué representa $m$? Entiendo por las conferencias de mis profesores que significa multiplicidad, pero en un sentido diferente que cuando se usa, por ejemplo, para hablar de valores propios en el contexto de sistemas dinámicos. ¿A qué se refiere entonces?
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En la ecuación 5.1, ¿cuál es la condición de transversalidad y cuándo/cómo se aplica? ¿Por qué no es necesaria cuando hay condiciones de frontera, como se muestra en 5.2?
En general, actualmente no puedo resolver este tipo de problemas. Cualquier ayuda para entender cómo abordarlo sería muy apreciada. Como nota rápida, cualquier crítica apropiada sobre el formato de esta publicación y/o mi uso de LaTex también sería apreciada.
