La siguiente pregunta es del libro de texto de Kerry E. Back, y lucho con ella muchos días, pero me pregunto si esta pregunta podría ser trivial para los expertos. ¡Si alguien puede ayudar, realmente lo apreciaré!
Dada la condición de primer orden (2.11) del problema de optimización de cartera con un único activo arriesgado: $\mathrm{E}\left[u^{\prime}(\tilde{w})\left(\tilde{R}-R_f\right)\right]=0$. El libro dice que:
Si la prima de riesgo no es cero y el inversor tiene una utilidad estrictamente monotona, entonces no puede ser óptimo para ella invertir $100 \%$ de su riqueza en el activo libre de riesgo. Si lo fuera, entonces $\tilde{w}$ sería determinístico, lo que significa que $u^{\prime}(\tilde{w})$ podría ser sacado de la expectativa en (2.11), llevando a $$ u^{\prime}(\tilde{w}) \mathrm{E}\left[\tilde{R}-R_f\right], $$ lo cual es distinto a cero por la suposición. Por lo tanto, poner $100 \%$ de la riqueza en el activo libre de riesgo contradice la condición de primer orden (2.11).
De hecho, si $\mu>R_f$, entonces es óptimo invertir una cantidad positiva en el activo riesgoso, y si $\mu, entonces es óptimo tomar una posición corta en el activo riesgoso. Podemos deducir esto de la propiedad de aversión al riesgo de segundo orden (1.4) discutida en el Capítulo 1. La esencia del argumento es que la prima de riesgo proporcionada por el mercado es de primer orden en el tamaño de la operación mientras que la prima de riesgo requerida es de segundo orden, por lo que la prima proporcionada es mayor que la prima requerida cuando la inversión es pequeña.
No tengo ninguna pregunta sobre esta parte, pero la nota al pie menciona que:
Solo analizaremos el caso $\mu>R_f$, porque el otro caso es simétrico. Mostraremos que $$ \mathrm{E}[u(\tilde{w})]>u\left(w_0 R_f\right), $$ donde $\tilde{w}$ es la riqueza al final del período dada en (2.10) y $\phi$ es positivo y suficientemente pequeño, lo que implica que alguna inversión en el activo riesgoso es mejor que ninguna. Escriba la riqueza al final del período (2.10) como $$ \begin{aligned} \tilde{w} & =w_0 R_f+\phi\left(\mu-R_f\right)+\phi(\tilde{R}-\mu) \\ & \stackrel{\text { def }}{=} w+\tilde{\varepsilon}, \end{aligned} $$ donde $w=w_0 R_f+\phi\left(\mu-R_f\right)$ y $\tilde{\varepsilon}=\phi(\tilde{R}-\mu)$. De la propiedad de aversión al riesgo de segundo orden (1.4), se sigue que $$ \mathrm{E}[u(\tilde{w})]=\mathrm{E}[u(w+\tilde{\varepsilon})]=u(w-\pi), $$ donde $$ \pi \approx \frac{1}{2} \phi^2 \sigma^2 \alpha(w) $$ Para valores suficientemente pequeños de $\phi$, $$ \phi\left(\mu-R_f\right)>\frac{1}{2} \phi^2 \sigma^2 \alpha(w) \approx \pi $$ Note 1:$\phi$ es la cantidad de activo riesgoso elegida por el inversor.
Note 2:Ahora estamos usando $\sigma^2$ para denotar la varianza de $\tilde{R} $, por lo que la varianza de $\tilde{\varepsilon}$ es $\phi^2 \sigma^2$.
Note 3:$\tilde{R}$ es el rendimiento del activo riesgoso, $R_f$ es el rendimiento del activo libre de riesgo$.\mu$ denota la media y $\sigma^2$ la varianza de $\tilde{R}$.
Note 3.5:$\alpha(w)$ es la aversión absoluta al riesgo. $\pi$ es la prima de riesgo de $\tilde{w}$ al azar. $w$ es la media de un $\tilde{w}$ al azar, por lo que $\tilde{w}=w+\tilde{\varepsilon}$, donde $\mathrm{E}[\tilde{\varepsilon}]=0$.
Note 4:La propiedad (1.4) dice que para apuestas pequeñas, $$ \pi \approx \frac{1}{2} \sigma^2 \alpha(w), $$ donde $\sigma^2$ es la varianza de $\tilde{\varepsilon}$ (En el capítulo 1, no en este caso. Para este caso, ver Nota 2.). Así, la cantidad que un inversor pagaría para evitar la apuesta es aproximadamente proporcional a su coeficiente de aversión absoluta al riesgo. El significado de la aproximación es que $\pi / \sigma^2 \rightarrow \alpha(w) / 2$ si consideramos una secuencia de apuestas cuya varianza $\sigma^2 \rightarrow 0$.
Mi pregunta es: ¿Por qué se cumple la desigualdad final para valores suficientemente pequeños de $\phi$?
Aquí hay algunas capturas del libro de texto que están relacionadas con mi pregunta:
Para la propiedad (1.4): 
Para mi pregunta: 
