Considera 2 bienes, $x_1$ y $x_2$. Supongamos que $x_1$ es indivisible (solo podemos consumir unidades enteras de $x_1$). Y supongamos que el consumidor satisface equilibrio presupuestario y homogeneidad de grado 0, y WARP. ¿Todavía podemos decir que se cumple la ley de demanda compensada?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jon
Puntos
303
Según la proposición 2.F.1 en Mas-Collell, Whinston y Green (MWG):
Si la función de demanda es
(a) homogénea de grado cero y
(b) cumple la ley de Walras (se gasta toda la riqueza),
entonces la función de demanda satisface WARP si y solo si satisface la ley compensada de la demanda.
En MWG, la demostración de que (a), (b) y WARP implican la ley compensada de la demanda solo utiliza (b) y WARP. (Es solo el recíproco - es decir, que (a), (b) y la ley compensada de la demanda implican WARP - lo que requiere la condición (a)).
Por lo tanto, si tu suposición adicional sobre la demanda no evita que la función de demanda cumpla (b) y WARP, entonces la ley compensada de la demanda se cumple según la prueba en MWG.
La condición (b) puede cumplirse para funciones de demanda donde $x_1$ es un número entero al igual que WARP.
Si hubieras asumido que ambos bienes solo se consumen en valores enteros, entonces la condición (b) se violaría porque no sería posible gastar toda la riqueza para todas las combinaciones de precios y riqueza. Entonces, se tendría que ver si la prueba de la parte relevante de la proposición 2.F.1 en MWG se puede modificar. Resulta que sí se puede, si en lugar de la Ley de Walras asumimos simplemente que $p\cdot x(p,w)\leq w$ para cualquier precio $p$ y riqueza $w$. Llamemos a esta condición (b').
La prueba se reduce a mostrar que para cualquier cambio de precio compensado de $(p,w)$ a $(p',w')=(p',p'\cdot x(p,w)) tenemos, cuando $x(p',w')\neq x(p,w)$, que:
$$p'\cdot[x(p',w')-x(p,w)]\leq 0 \tag{2.F.3}$$
y
$$p\cdot[x(p',w')-x(p,w)]>0\tag{2.F.4}$$
Considera $(2.F.3)$. Tenemos $p'\cdot x(p',w')\leq w'$ por la condición (b') y $p'\cdot x(p,w)=w'$ ya que es un cambio de precio compensado. Por lo tanto, $(2.F.3)$ se cumple. Considera $(2.F.3)$. Debido a que $p'\cdot x(p,w)=w'$, $x(p,w)$ es asequible en $(p',w')$. y así por WARP $x(p',w')$ no debe ser asequible en $(p,w)$. Por lo tanto, $p\cdot x(p',w')>w$. Además, $p\cdot x(p,w)\leq w$ por (b'). Por lo tanto, $(2.F.4)$ se cumple.
