Tratando de entender el equilibrio de Walras (Brown & Matzkin 1996)

Question

Estoy tratando de entender las páginas 6-7 del artículo de Brown & Matzkin. Aquí tienes un ejemplo:

Considera una economía de intercambio puro de 2 personas y 2 bienes $E=(u_i,w_i)_{i=1}^2$ donde ambas funciones de utilidad son continuas, estrictamente cuasiconcavas y estrictamente monótonas. Los endowments son $w_1=(0,5)$ y $w_2=(2,1)$. Sea $\bar{E}=(u_i,\bar{w}_i)_{i=1}^2$ otra economía de intercambio, con endowments $\bar{w}_1=(5,0)$ y $\bar{w}_2=(1,2)$.

Ahora quiero demostrar que si $p=(5,6)$ es un vector de precios de equilibrio de Walras para la economía $E$, entonces $\bar{p}=(6,5)$ no puede ser un vector de precios de equilibrio de Walras para $\bar{E}$. El artículo menciona el uso del teorema de Afriat, pero estoy teniendo dificultades para encontrar el camino correcto para demostrar esto.

Answer 1

Considere al consumidor 1. Sea $(x,y)$ su conjunto óptimo de consumo en el primer equilibrio y sea $(\bar x, \bar y)$ su conjunto óptimo de consumo en el segundo equilibrio.

Entonces, la restricción presupuestaria en el primer equilibrio es: $$30 = 5 x + 6 y \leftrightarrow y = 5 - \frac{5}{6} x$$ Las restricciones sobre el endoso total son: $$x \le 2.$$ De esto se sigue que: $$\begin{align*} 6 x + 5 y &= 6 x + 5 \left(5 - \frac{5}{6} x\right),\\ &=6 x + 25 - \frac{25}{6} x,\\ &=\frac{11}{6} x + 25 \le \frac{22}{6} + 25,\\ &< 30. \end{align*}$$ Ahora, el ingreso total para el individuo 1 en el segundo equilibrio es $30 (= 6 \times 5)$. Con este dinero, podría haber comprado el conjunto de bienes que consumió en el primer período, porque: $$6 x + 5 y < 30.$$ Por un simple argumento de preferencia revelada, esto significa que el consumidor 1 prefiere el conjunto elegido $(\bar x, \bar y)$ sobre el conjunto $(x,y)$. (Consumió el conjunto $(\bar x, \bar y)$ pero el conjunto $(x,y)$ era más barato de obtener.)

Ahora, hacemos un ejercicio similar para el segundo equilibrio. La restricción presupuestaria en el segundo equilibrio es: $$30 = 6 \bar x + 5 \bar y \leftrightarrow \bar x = 5 - \frac{5}{6} \bar y.$$ Además, la restricción de endoso es: $$\bar y \le 2.$$ Por lo tanto, $$\begin{align*} 5 \bar x + 6 \bar y &= 5\left(5 - \frac{5}{6} \bar y\right) + 6 \bar y,\\ &= 25 - \frac{25}{6} \bar y + 6 \bar y,\\ &= 25 + \frac{11}{6} \bar y \le 25 + \frac{22}{6},\\ &< 30 \end{align*}$$ El ingreso para el individuo 1 en el primer equilibrio es $30 = (6 \times 5)$. Con este dinero, podría haber comprado el conjunto en el segundo equilibrio porque: $$5 \bar x + 6 \bar y < 30,$$ lo que significa que prefiere el conjunto $(x,y)$ que efectivamente compró sobre el conjunto $(\bar x, \bar y)$.

Para concluir, nuestro consumidor prefiere $(x,y)$ sobre $(\bar x, \bar y)$ y prefiere $(\bar x, \bar y)$ sobre $(x,y)$, lo cual es una contradicción.