Diferencias de dos factores de descuento

Question

En teoría de juegos a nivel de pregrado, el factor de descuento se denota como $\delta \in [0,1]$.
Por otro lado, en macroeconomía a nivel de posgrado, se utiliza la notación $e^{-\rho t}$ ($t$ es el tiempo).
No estoy seguro de por qué se introduce la segunda notación.

Adicionalmente, me gustaría confirmar si el rango de $\rho$ es $\rho \in [0, \infty]$.

Gracias por cualquier ayuda que puedas brindar.

Answer 1

El valor $e^{-\rho t}$ es la tasa de descuento que necesita aplicarse si el interés por periodo es $\rho$, pero el interés se acumula continuamente. El valor de $\rho$ puede interpretarse como la tasa de interés por periodo, por lo que generalmente toma valores en el intervalo $(0,1)$.

Para ver cómo llegar a este valor, suponga que invierte una cantidad $a$ a una tasa de interés de $\rho$ por periodo. Después de $t$ periodos, tendrá una cantidad igual a: $$ a\underbrace{(1+\rho)(1+ \rho)\ldots (1+\rho)}_{t \text{ periodos }} = a (1+\rho)^t. $$ Ahora, suponga que en cambio acumula interés no cada periodo, sino cada (1/2) periodo. En particular, el banco le da una tasa de interés de $\rho/2$ cada (1/2) periodo. Entonces, después de 1 periodo, la cantidad de dinero será: $$ a \left(1+\frac{\rho}{2}\right)\left(1+ \frac{\rho}{2}\right) = a \left(1+\frac{\rho}{2}\right)^2. $$
Así que después de $t$ periodos, tendrá: $$ a \left(1 + \frac{\rho}{2}\right)^{2t}. $$ Podemos generalizar esto. Suponga que cada periodo se divide en $n$ subperiodos y recibe un interés de $\rho/n$ cada subperiodo, es decir, cada $(1/n)$ periodo. Entonces, después de $t$ periodos, tendrá: $$ a \left(1 + \frac{\rho}{n}\right)^{n t}. $$ Si el interés se acumula continuamente, esto significa que tomamos este valor para $n$ que tiende a infinito. Esto da: $$ \lim_{n \to \infty} a \left(1 + \frac{\rho}{n}\right)^{n t} = a e^{\rho t}. $$ Por lo tanto, si la tasa de interés por periodo es $\rho$ pero el interés se acumula continuamente, entonces recibirá una cantidad de $a e^{\rho t}$ después de $t$ periodos.

Para haber acumulado una cantidad, digamos $A$ después de $t$ periodos (es decir, $A = a e^{\rho t}$), necesita invertir una cantidad igual a: $$ a = A e^{-\rho t}, $$ Esto significa que $e^{-\rho t}$ es la tasa de descuento del periodo $t$ que necesita aplicar si el interés se acumula continuamente.