Si la función de utilidad es convexa, ¿qué se puede decir sobre la relación de preferencia?

Question

Se sabe que si una función de utilidad es cóncava, entonces es cuasicóncava y la relación de preferencia es convexa.

¿Qué se puede decir si una función de utilidad es convexa?

He encontrado en Internet que en este caso la función puede ser tanto cuasicóncava como cuasiconvexa (¿cómo es posible? ¿función lineal?) y en este caso la relación de preferencia ¿es cóncava?

He logrado demostrar que la función de utilidad $u(x_1,x_2)=\operatorname{max}(x_1,x_2)$ es convexa. ¿Qué se puede decir sobre la relación de preferencia?

Answer 1

Las funciones de utilidad cóncavas son cuasicóncavas, mientras que las funciones de utilidad convexas son cuasicóncavas.

Si $U()$ es convexa, entonces $-U()$ es cóncava y representa las preferencias 'opuestas', así que si crees en la primera parte de la afirmación anterior, puedes demostrar fácilmente que la segunda parte es cierta.

---

Una función es tanto cóncava como convexa si y solo si $$ \alpha f(x) + (1 - \alpha) f(y) = f\left( \alpha x + (1 - \alpha) y \right) $$ para $\alpha \in [0,1]$ y todos los $x,y$.

Por ejemlo; las funciones lineales tienen esta propiedad.

---

Debido a lo anterior, las funciones de utilidad lineales (pero no solo ellas) serán tanto cuasiconvexas como cuasicóncavas.