Dado el ingreso $y$ y un vector de precios de bienes $p\in R_+^L$, el conjunto de combinaciones de consumo factibles está descrito por la correspondencia presupuestaria, $B(p,y)=\{x\in R_+^L:px\leq y\}$. $B(p,y)$ es tanto superior como inferior hemicontinuo, como se demuestra en el Problema 2.2 del Capítulo 8 en Métodos y Modelos Matemáticos para Economistas de de la Fuente.
Aquí está la prueba: Para establecer que $B$ es una correspondencia lhc, necesitamos mostrar que dado cualquier secuencia precio-ingreso $\{(p_n,y_n)\}$ convergiendo a $(p,y)>>0$ y un punto arbitrario $x\in B(p,y)$, existe una secuencia compañera de combinaciones de consumo $\{x_n\}$ con $x_n\in B(p_n,y_n)$ para todos los $n$ que converge a $x$.
Sea $x_n=x$ si $x\in B(p_n,y_n)$ y $x_n=\frac{y_n}{p_nx}x$ si no lo es. Observa que $x_n$ es factible para $(p_n,y_n)$ por construcción, porque $x_n$ está definido como la mayor fracción de la combinación $x$ que el consumidor puede costear con ingreso $y_n$ y precios $p_n$. También es claro que $\{x_n\}\to x$. Si $x$ está en el interior del conjunto presupuestario, entonces tenemos $x_n=x$ para $n$ suficientemente grande. De lo contrario, $y=px$ y $\lim x_n=\lim\frac{y_n}{p_nx}x=\frac{y}{px}x=x$.
También puedes ver aquí para la prueba.
Pero tengo problemas para entender esta prueba. Aquí está la definición de lhc: Una correspondencia es lhc en $a$ si $\forall b\in F(a)$, $\exists a_n$ y $b_n$ tal que $a_n\to a$ y $b_n\to b$.
Pero en esta prueba, $p_n$ se toma como una secuencia arbitraria. $p_n$ debería corresponder a la secuencia $a_n$ en la definición de lhc. En la definición, $a_n$ debería ser "existe", no "para todos". ¿Alguien puede explicar por qué?
