¿Por qué es la correspondencia presupuestaria hemicontinua más baja?

Question

Dado el ingreso $y$ y un vector de precios de bienes $p\in R_+^L$, el conjunto de combinaciones de consumo factibles está descrito por la correspondencia presupuestaria, $B(p,y)=\{x\in R_+^L:px\leq y\}$. $B(p,y)$ es tanto superior como inferior hemicontinuo, como se demuestra en el Problema 2.2 del Capítulo 8 en Métodos y Modelos Matemáticos para Economistas de de la Fuente.

Aquí está la prueba: Para establecer que $B$ es una correspondencia lhc, necesitamos mostrar que dado cualquier secuencia precio-ingreso $\{(p_n,y_n)\}$ convergiendo a $(p,y)>>0$ y un punto arbitrario $x\in B(p,y)$, existe una secuencia compañera de combinaciones de consumo $\{x_n\}$ con $x_n\in B(p_n,y_n)$ para todos los $n$ que converge a $x$.

Sea $x_n=x$ si $x\in B(p_n,y_n)$ y $x_n=\frac{y_n}{p_nx}x$ si no lo es. Observa que $x_n$ es factible para $(p_n,y_n)$ por construcción, porque $x_n$ está definido como la mayor fracción de la combinación $x$ que el consumidor puede costear con ingreso $y_n$ y precios $p_n$. También es claro que $\{x_n\}\to x$. Si $x$ está en el interior del conjunto presupuestario, entonces tenemos $x_n=x$ para $n$ suficientemente grande. De lo contrario, $y=px$ y $\lim x_n=\lim\frac{y_n}{p_nx}x=\frac{y}{px}x=x$.

También puedes ver aquí para la prueba.

Pero tengo problemas para entender esta prueba. Aquí está la definición de lhc: Una correspondencia es lhc en $a$ si $\forall b\in F(a)$, $\exists a_n$ y $b_n$ tal que $a_n\to a$ y $b_n\to b$.

Pero en esta prueba, $p_n$ se toma como una secuencia arbitraria. $p_n$ debería corresponder a la secuencia $a_n$ en la definición de lhc. En la definición, $a_n$ debería ser "existe", no "para todos". ¿Alguien puede explicar por qué?

Answer 1

Creo que necesitas volver a revisar la definición que proporcionaste para lhc. Esto se debe a que la definición que proporcionaste siempre es cierta para cualquier correspondencia en cualquier punto $(a,b)$ que cumpla con $b\in F(a)$. Para ver esto, considera secuencias constantes $a_n=a$, y $b_n=b$. Claramente, $a_n\rightarrow a$, y $b_n\rightarrow b$. Además, $b_n\in F(a_n)$ para todo $n\in \mathbb{N}$ también se cumple debido a que $a_n=a$, $b_n=b$ y $b\in F(a)$.