¿Cómo derivar las demandas de esta utilidad bastante extraña?

Question

Tengo una función de utilidad bastante extraña, que no es ni diferenciable ni cuasi-cóncava $$u(x_1,x_2)=\max\{\min\{x_1,2x_2\},\min\{2x_1,x_2\}\}$$ ¿Cómo derivar la función de demanda?

Answer 1

Más generalmente, si quieres resolver el problema: \begin{eqnarray*} \max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} \max(f_1(x_1,x_2,\ldots, x_n), f_2(x_1,x_2,\ldots, x_n),\ldots, f_m(x_1,x_2,\ldots, x_n))\end{eqnarray*} Resuelve cada uno de estos $m$ problemas: \begin{eqnarray*} \max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} f_j(x_1,x_2,\ldots, x_n) \end{eqnarray*} donde $j\in\{1,2,\ldots,m\}$

Suponiendo que las condiciones para la existencia de estas $m$ soluciones se cumplen (podemos asumir que $f_j$ es continua y $C$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$), sea $(x_1^j,x_2^j,\dots, x_n^j)$ una de las soluciones al problema \begin{eqnarray*} \max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} f_j(x_1,x_2,\ldots, x_n) \end{eqnarray*} de manera que $\max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} f_j(x_1,x_2,\ldots, x_n)=f_j(x_1^j,x_2^j,\ldots, x_n^j)$

Proposición.
\begin{eqnarray*} \max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} \max(f_1(x_1,x_2,\ldots, x_n), f_2(x_1,x_2,\ldots, x_n),\ldots, f_m(x_1,x_2,\ldots, x_n))= \max_{j\in\{1,2,\ldots,m\}} f_j(x_1^j,x_2^j,\dots, x_n^j)\end{eqnarray*}

y

$j^*$ resuelve el problema \begin{eqnarray*} \max_{j\in\{1,2,\ldots,m\}} f_j(x_1^j,x_2^j,\dots, x_n^j)\end{eqnarray*} si y solo si $(x_1^{j^*},x_2^{j^*},\dots, x_n^{j^*})$ resuelve el problema \begin{eqnarray*} \max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} \max(f_1(x_1,x_2,\ldots, x_n), f_2(x_1,x_2,\ldots, x_n),\ldots, f_m(x_1,x_2,\ldots, x_n))\end{eqnarray*} Prueba. Fácil

Ahora podemos usar esta proposición y resolver el problema dado fácilmente. Para resumir, simplemente cambiamos el orden de la optimización: \begin{eqnarray*} \max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} \max_{j\in\{1,2,\ldots,m\}} f_j(x_1,x_2,\ldots, x_n) = \max_{j\in\{1,2,\ldots,m\}} \max_{(x_1,x_2,\dots, x_n)\in C} f_j(x_1,x_2,\ldots, x_n)\end{eqnarray*}

Answer 2

Necesitamos resolver $$ \max_{x_1, x_2} \left(\max\{\min\{x_1, 2 x_2\}, \min\{x_2, 2 x_1\}\}\right) \text{s.a. } p_1 x_1 + p_2 x_2 \le m $$

1. suponer $x_1 \le 2 x_2$ y $x_2 \le 2 x_1$, entonces: $$ u(x_1, x_2) = \max\{x_1, x_2\}. $$ 1.1 Ahora, si $x_1 \ge x_2$ entonces esto da $u(x_1, x_2) = x_1$. Queremos maximizar esto, así que ponemos $x_1$ lo más alto posible, esto da $x_1 = 2 x_2$. Sustituyendo en la restricción presupuestaria da $x_2 = \frac{m}{2 p_1 + p_2}$ y $x_1 = \frac{2m}{2p_1 + p_2}$. Notar que efectivamente $x_2 \le 2 x_1$. La utilidad obtenida es $u(x_1, x_2) = \frac{2m}{2p_1 + p_2}$.

   1.2 Si $x_2 \ge x_1$ entonces esto da $u(x_1, x_2) = x_2$. Queremos maximizar esto, así que ponemos $x_2$ lo más alto posible. Esto da $x_2 = 2 x_1$. Sustituyendo en la restricción presupuestaria da $x_1 = \frac{m}{p_1 + 2 p_2}$ y $x_2 = \frac{2m}{p_1 + 2 p_2}$. Entonces $u(x_1, x_2) = \frac{2m}{p_1 + 2 p_2}$.

2. si $x_1 \le 2 x_2$ y $2 x_1 \le x_2$ (notar que solamente la última restricción es realmente necesaria). Entonces: $$ u(x_1, x_2) = \max\{x_1, 2x_1\} = 2 x_1 $$ Aquí, queremos hacer $x_1$ lo más grande posible. Esto da $2 x_1 = x_2$. Sustituyendo en la restricción presupuestaria da $x_1 = \frac{m}{p_1 + 2 p_2}$ y $x_2 = \frac{2m}{p_1 + 2 p_2}$. La utilidad es dada por $u(x_1, x_2) = \frac{2m}{p_1 + 2p_2}$.

3. si $2 x_2 \le x_1$ y $x_2 \le 2 x_1$ (notar que solamente la primera restricción es necesaria). Entonces $$ u(x_1, x_2) = \max\{2 x_2, x_2\} = 2 x_2. $$ Aquí, para hacer $x_2$ lo más grande posible, tendremos $2 x_2 = x_1$. Luego, sustituyendo en la restricción presupuestaria da $x_2 = \frac{m}{2p_1 + p_2}$. y $x_1 = \frac{2m}{2p_1 + p_2}$. La utilidad es dada por $u(x_1, x_2) = \frac{2m}{2p_1 + p_2}$.

4. Si $2x_2 \le x_1$ y $2 x_1 \le x_2$. Entonces $2 x_2 \le x_1 \le 2 x_1 \le x_2$, lo cual es posible solamente si $x_2 = 0$ y $x_1 = 0$, pero esto nunca maximiza la utilidad.

Resumiendo, podemos elegir entre $u(x_1, x_2) = \frac{2m}{2p_1 + p_2}$ o $u(x_1, x_2) = \frac{2m}{p_1 + 2 p_2}$. La primera será la elección óptima (dará más utilidad) si $p_1 < p_2$ la segunda será óptima si $p_1 > p_2$. Si $p_1 = p_2$ estaremos indiferentes.