Equilibrio competitivo en una economía de dos personas con sustitutos y complementos

Question

Recientemente me encontré con esta pregunta en un examen de microeconomía y había algo que no me parecía del todo correcto.

En una economía con dos agentes, A y B, y dos bienes, leche y miel, las preferencias de cada consumidor son las siguientes:

$$U_A=\min(2m_A,h_A)$$ $$U_B=m_B+h_B$$ Hay 100 unidades de cada bien, no hay producción en la economía, y la dotación inicial es:

$$E_A(m_A,h_A)=(60,40)$$ $$E_B(m_B,h_B)=(40,60)$$

¿Cuál es la asignación de equilibrio competitivo con esta dotación?

Después de dibujar el cuadro de Edgeworth, es fácil ver que la curva de contrato está definida por el consumidor A debido a sus preferencias. A partir de eso, podemos ver una solución trivial en el punto A, donde la relación de precios es 1. Mi problema con esto es que no puedo comprender que esta sea la única solución en esa economía. Para cualquier otra relación de precios ${{p_M}\over{p_H}}\in (0,1)$, ¿no podría el equilibrio estar en el punto B dibujado en el gráfico? Si no, ¿por qué no? Partiendo de la suposición de racionalidad y maximización de la utilidad de los dos jugadores, aunque B no pueda alcanzar su curva de indiferencia más alta, $I_3$, puede alcanzar $I_2$, lo que claramente le proporciona más utilidad que $I_1$. Por favor, ayúdenme a entender si he pasado por alto algo, o si mi proceso de pensamiento está equivocado.

Answer 1

Dada la economía con dos consumidores: $u_1=\min(2m_1,h_1)$ y $u_2=m_2+h_2$ con asignación de dotación $E=((60,40),(40,60))$, observamos el caso donde la relación de precios es $\frac{p_M}{p_H}\in (0,1)$. En dicho caso, como se muestra en la figura, el punto $B$ es la elección óptima del consumidor $1$, y el punto $C$ es la elección óptima del consumidor $2$ y ofrecerá una mayor satisfacción al consumidor $2$ en comparación con el punto $B$ y además es asequible. Por lo tanto, dicha relación de precios no puede ser un equilibrio competitivo ya que hay una demanda excesiva de la mercancía $M$.

Answer 2

Denotaré la relación de precios $p_M/p_H$ como $p$.

La demanda $m$ de $A$ es: $$ m_A = \frac{60p + 40}{p + 2} $$ La demanda $m$ de $B$ es: \begin{align*} m_B = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } p > 1 \\ [0,100] & \text{ si } p = 1 \\ \frac{40p+60}{p} & \text{ si } p < 1 \end{array} \right. \end{align*} La parte media representa que cualquier consumo de $m_B$ en el intervalo de $[0,100]$ puede ser óptimo. Al investigar los tres casos ($p>1$, $p=1$, $p<1$) por separado, encontrarás que solo hay un precio donde la demanda iguala la oferta $$ m_A + m_B = 60 + 40. $$