Dado un conjunto $x,y\in \mathbb R^n$, debe existir un presupuesto $B\supset\{x,y\}$ y una demanda $D(B)\in[x,y]?

Question

Para un problema de preferencias reveladas. Dado los conjuntos $x,y\in \mathbb R^n$, ¿debe existir un presupuesto $B\supset\{x,y\}$ y una demanda $D(B)\in[x,y]$?

Intuitivamente, esto significa que tenemos dos conjuntos, y queremos determinar un conjunto de presupuesto $B$ que incluya tanto a $x$ como a $y$, y la demanda en $B$ esté también en el intervalo $[x,y]$.

El conjunto de presupuesto está determinado por un vector de precios $p\in\mathbb R^n$.

Answer 1

Sea $U$ una función de utilidad $C^1$, monótona y cuasicóncava. Sea $\nabla U(z)$ el gradiente de $U$ en el paquete $z$ (si asumimos que las preferencias son monótonas entonces $\nabla U(z) \gg 0)$ para todo $z \in \mathbb{R}^n$).

Hay tres casos a considerar:

1. $\nabla U(x) \cdot x \ge \nabla U(x) \cdot y$. En este caso, podemos tomar el presupuesto con precio $p = \nabla U(x)$ e ingreso total $p \cdot x$. Este caso corresponde a la configuración donde $y$ está debajo del hiperplano de la curva de indiferencia en $x$. En este caso $x \in D(B)$ y $y \in B$

2. $\nabla U(y) \cdot y \ge \nabla U(y) \cdot x$. En este caso, podemos tomar el presupuesto con precio $p = \nabla U(y)$ e ingreso total $p \cdot y$. Este caso corresponde a la configuración donde $x$ está debajo del hiperplano tangente a la curva de indiferencia en $y$. En este caso $y \in D(B)$ y $x \in B$.

3. Supongamos que los casos 1 y 2 no se cumplen y consideremos el siguiente problema $$ \alpha^\ast = \max_{\alpha \in [0,1]} U(\alpha x + (1-\alpha) y). $$ La función objetivo es continua y el conjunto de restricción $[0,1]$ es compacto, por lo que existe una solución óptima. Nótese que la derivada de la función objetivo está dada por: $$ \nabla U(\alpha x + (1-\alpha)y) \cdot (x - y). $$ Primero, excluyamos $\alpha = 0$ y $\alpha = 1$ como soluciones óptimas.

   a) si $\alpha = 0$ es una solución óptima entonces la derivada de la función objetivo debe ser negativa para $\alpha = 0$ (ya que está en el límite del conjunto factible $[0,1]$): $$ \nabla U(y)(x-y) \le 0, $$ Pero esto da $\nabla U(y)\cdot y > \nabla U(y) \cdot x$, lo cual lleva al caso 2.

   b) si $\alpha = 1$ es una solución óptima, la derivada de la función objetivo debe ser positiva en $\alpha = 1$: $$ \nabla U(x)(x - y) \ge 0 $$ Pero esto da $\nabla U(x)\cdot x \ge \nabla U(x) \cdot y$, lo cual lleva al caso 1.

   Concluimos que el valor óptimo de $\alpha$ debe estar estrictamente entre cero y 1. Sea $z = \alpha x + (1-\alpha) y$. Dado que la solución es interior, tenemos que: $$ \nabla U(z) \cdot (x - y) = 0. $$ En particular $$ \begin{align*} \nabla U(z) \cdot z &= \nabla U(z)\cdot (\alpha x + (1-\alpha) y),\\ &= \alpha \nabla U(z)\cdot(x - y) + \nabla U(z) \cdot y,\\ &= \nabla U(z) \cdot y. \end{align*} $$ y $$ \begin{align*} \nabla U(z) \cdot z &= \nabla U(z)\cdot (\alpha x + (1-\alpha) y),\\ &= (\alpha-1) \nabla U(z)\cdot(x - y) + \nabla U(z) \cdot x,\\ &= \nabla U(z) \cdot x. \end{align*} $$ Por lo tanto, si definimos el presupuesto $B$ con precio $p = \nabla U(z)$ e ingreso $p \cdot z$, tenemos que $x, y \in B$ y que $z \in D(B)$ mientras $z \in [x,y]$.