Recientemente aprendí sobre el teorema de Girsanov-Cameron-Martin, que básicamente dice que si $(\tilde{B}(t),t\in[0,T])$ es un movimiento Browniano con un desplazamiento (posiblemente estocástico) $\theta(t)$ definido en $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, entonces podemos construir una nueva medida de probabilidad $\mathbb{\tilde{P}}$, es decir, asignar nuevos pesos a las trayectorias de muestra $\tilde{B}(\cdot,\omega)$ mediante la multiplicación con el factor:
$$M(T) = \exp\left[-\int_{0}^{T}\theta(t)d\tilde{B}(t)-\frac{1}{2}\int_{0}^{T}\theta^2(t)dt\right]$$
para que:
$$\mathbb{\tilde{P}}(\mathcal{E})=\mathbb{\tilde{E}}[1_\mathcal{E}]=\mathbb{E}[M(T) 1_\mathcal{E}]$$
para cualquier evento $\mathcal{E} \in \mathcal{F}$.
El resultado es que, $\tilde{B}(t)$ es un movimiento browniano estándar bajo $\mathbb{\tilde{P}}$.
Además, podemos escribir $d\tilde{B}(t) = dB(t) + \theta(t)dt$. La esperanza bajo $\mathbb{\tilde{P}}$ podría ser escrita como:
$$\mathbb{\tilde{E}}[V(T)] = \int_{\Omega}V(T)d\mathbb{\tilde{P}}=\int_{\Omega}V(T)\left(\frac{d\mathbb{\tilde{P}(\omega)}}{d\mathbb{P}(\omega)}\right)d\mathbb{P}(\omega)=\int_{\Omega}V(T)M(T)d\mathbb{P}(\omega)=\mathbb{E}[M(T)V(T)]$$
Esto significa que la fórmula de fijación de precios libre de riesgos se convierte en:
\begin{align} V(0) &= \mathbb{\tilde{E}}\left[\exp\left(-\int_{0}^{T}r(t)dt\right)V(T)\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\exp\left(-\int_{0}^{T}r(t)dt\right)M(T)V(T)\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\exp\left(-\int_{0}^{T}(r(t)+\frac{1}{2}\theta^2(t))dt-\int_{0}^T \theta(t)dB(t)\right)V(T)\right] \end{align}
¿Es correcta la fórmula de fijación de precios anterior?
Editar: $\theta(t)$ representa el precio de mercado de mantener el activo riesgoso. Para una acción, esto es $\theta(t)=(\mu(t)-r(t))/\sigma(t)$, donde $\mu(t)$ es el rendimiento esperado de la acción.
