Dada una economía de intercambio puro:
$u_i(x_i,y_i)=\sqrt{x_i}+2\sqrt{y_i}$ para $i\in\{1,2\}$
$\omega_1=(\omega_1^X,\omega_1^Y)=(6,1)$ y $\omega_2=(\omega_2^X,\omega_2^Y)=(10,3)$
queremos encontrar el precio de equilibrio competitivo $p > 0$, donde el precio de $X$ es $1$ y el precio de $Y$ es $p$.
Para hacerlo, primero resolvemos el problema de maximización de utilidad de cada consumidor $i$.
\begin{eqnarray*} \max_{x_i\geq 0, \ y_i\geq 0} & \sqrt{x_i}+2\sqrt{y_i} \\ \text{s.t. } & x_i + py_i \leq \omega_i^X+p\omega_i^Y\end{eqnarray*}
Configurando el Lagrangiano, obtenemos
$\mathcal{L} = \sqrt{x_i}+2\sqrt{y_i} - \lambda(x_i + py_i - \omega_i^X-p\omega_i^Y)$
Las condiciones de primer orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathcal{x_i}} & = & \dfrac{1}{2\sqrt{x_i}}-\lambda= 0\\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \mathcal{y_i}} & = & \dfrac{1}{\sqrt{y_i}}-\lambda p= 0 \\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda } & = & x_i + py_i - \omega_i^X-p\omega_i^Y = 0\end{eqnarray*}
Eliminando $\lambda$, observamos que $x_i, y_i$ satisfacen:
$y_i=\dfrac{4x_i}{p^2}$ y
$x_i + py_i = \omega_i^X+p\omega_i^Y$
Al resolver para $x_i$, $y_i$, obtenemos $x_i= \dfrac{p(\omega_i^X+p\omega_i^Y)}{p+4}$ y $y_i= \dfrac{4(\omega_i^X+p\omega_i^Y)}{p(p+4)}$.
Para resolver el precio de equilibrio competitivo, podemos considerar el mercado para $X$ y establecer la demanda total de $X$ igual a la oferta total de $X$, y obtenemos la siguiente condición $\dfrac{p(\omega_1^X+p\omega_1^Y)}{p+4}+ \dfrac{p(\omega_2^X+p\omega_2^Y)}{p+4} =\omega_1^X+\omega_2^X $
El equilibrio $p$ resuelve la condición anterior y al resolverla obtenemos: $p=2\sqrt{\dfrac{\omega_1^X+\omega_2^X}{\omega_1^Y+\omega_2^Y}}$
Para el caso específico cuando $\omega_1=(\omega_1^X,\omega_1^Y)=(6,1)$ y $\omega_2=(\omega_2^X,\omega_2^Y)=(10,3)$, obtenemos $p =4 $. La asignación de equilibrio competitivo correspondiente es $(x_1,y_1)= \left(5,\frac{5}{4}\right)$ y $(x_2,y_2)=\left(11,\frac{11}{4}\right)$
