Equilibrio del Juego Subastado del Dólar Perturbado - Un Ejemplo de la Teoría de Juegos: Análisis de Conflictos por Roger Myerson

Question

Estoy estudiando teoría de juegos usando el libro de Myerson (Capítulo 3 - Equilibrios de juegos en forma estratégica, Sección 3.6 - El enfoque de toma de decisiones en los juegos). Tengo dificultades para entender y derivar su equilibrio del siguiente juego de Subasta del Dólar perturbado:

Hay dos jugadores neutrales al riesgo, cada uno de los cuales debe elegir una oferta que puede ser cualquier número real entre $0$ y $1$. Supongamos que para cada jugador $j$, hay una probabilidad independiente de $0.1$ de que la oferta de $j$ sea determinada, no por un tomador de decisiones racional e inteligente, sino por un agente ingenuo que elige la oferta de forma aleatoria entre el intervalo de $0$ a $1$. El postor más alto paga la cantidad de su oferta y luego gana $1$ dólar. (En caso de empate, cada uno tiene una probabilidad de $0.5$ de ganar y comprar el dólar por su oferta.)

Entonces interpretemos $\hat{u}_i(c_1,c_2)$ como la ganancia esperada condicional que $i$ obtendría en este juego perturbado dado que la oferta del jugador $i$ no está siendo determinada por un agente ingenuo y dado que, para cada jugador $j$, $c_j$ es la oferta que el jugador $j$ haría si su oferta no estuviera siendo determinada de otra manera por un agente ingenuo. Entonces las funciones de utilidad en este juego perturbado son \begin{align*} \hat{u}_i(c_1,c_2) & = 0.1c_i(1-c_i)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \text{si}\quad i \notin \text{argmax}_{j \in \{1,2\}}c_j,\\ & = 0.1c_i(1-c_i) + 0.9(1-c_i)\quad\hspace{0.5cm} \text{si}\quad \{i\} = \text{argmax}_{j \in \{1,2\}}c_j,\\ & = 0.1c_i(1-c_i) + \frac{0.9(1-c_i)}{2} \quad\hspace{0.4cm} \text{si}\quad c_1 = c_2. \end{align*}

No tengo problemas para entender todo hasta ahora. Pero luego, Myerson afirmó que

Hay un equilibrio en este juego perturbado en el que cada jugador elige aleatoriamente una oferta del intervalo entre 0.5 y 0.975 de tal manera que, para cualquier número $x$ en este intervalo, la probabilidad acumulativa de ofertar por debajo de $x$ es $\frac{0.025 + 0.1x^2 - 0.1x}{0.9(1-x)}$. La oferta mediana para un jugador bajo esta distribución es 0.954.

No pude ver cómo se deriva este equilibrio. ¿Podría alguien ayudarme por favor? ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Describamos la estrategia mixta jugada por ambos jugadores 1 y 2 usando la función de densidad de probabilidad $f$. Decimos que una estrategia pura $x$ está en el soporte $S$ de una estrategia mixta $f$ si $f(x)>0$.

Editar:
Lo siento, la siguiente notación y lema solo se aplica cuando los jugadores no son agentes ingenuos. Expresar esto rigurosamente requeriría que escribiera las ecuaciones, y actualmente no estoy dispuesto a hacerlo. La lógica sigue siendo válida para el juego perturbado, la perturbación simplemente hace que las ecuaciones sean más complicadas.

Denotaremos la utilidad esperada del jugador 1 en el juego perturbado dado a estrategias mixtas con: $$ E\left( \hat{u}_1(f_1,f_2) \right) = \int_{x_1 \in S_1} \int_{x_2 \in S_2} \hat{u}_1(x_1,x_2) \ \text{d}x_1\text{d}x_2. $$

Lema Para estrategias puras $x_1$ en el soporte (excepto un conjunto de medida cero) de una mejor respuesta $f_1$ a una estrategia $f_2$ tenemos $$ E\left( \hat{u}_1(x_1,f_2) \right) = E\left( \hat{u}_1(f_1,f_2) \right) \hskip 10pt \blacksquare $$ La intuición para el lema es que si un jugador juega un conjunto de estrategias puras que tienen una ganancia menor que la estrategia mixta en promedio con probabilidad positiva, el jugador podría mejorar su ganancia desplazando la probabilidad lejos de las estrategias puras de menor ganancia hacia las estrategias puras de mayor ganancia.

Quieres encontrar el equilibrio simétrico mencionado en tu respuesta. Suponiendo que existe, para todo $x_1 \in S_1$ se cumplirá $$ E\left( \hat{u}_1(x_1,f) \right) = E\left( \hat{u}_1(f,f) \right) $$ ya que $f$ es una mejor respuesta a $f$.
Ayuda mucho si asumes que el conjunto de soporte es un intervalo continuo y cerrado $[x_l,x_u]$, porque la ecuación anterior es 'especial' tanto para $x_l$ como para $x_u$, conoces la probabilidad de ganar la subasta en estos casos.

En mi experiencia, a partir de aquí es simplemente trabajo tedioso de cálculo, separando las integrales en casos, por ejemplo; $x_1 < x_2$, etc., y luego haciendo cálculos.