¿Cómo forzar que dos funciones de utilidad que representen la misma preferencia generen funciones de utilidad esperada que representen el mismo orden en las loterías?

Question

Sea $i$ un agente, y sea $A=\{x,y,z\}$ un conjunto de tres alternativas. Entonces, supongamos que el orden lineal del jugador $i$ (es decir, una relación binaria completa, transitiva, antisimétrica y reflexiva) en $A$, denotada por $P_i$, está dada por $aP_ibP_ic$ (es decir, el jugador $i$ prefiere estrictamente $a$ sobre $b$, y $b$ sobre $c$). Además, sea \begin{gather} \Lambda=\left\{\lambda\in[0,1]^A\mid\sum_{a\in A}\lambda(a)=1\right\} \end{gather} el conjunto de todas las loterías sobre el conjunto de alternativas $A$.

Además, sea $u_i:A\to\mathbb{R}_+$ una función de utilidad no negativa que representa la preferencia estricta del jugador $i$: es decir, \begin{gather} u_i(a)>u_i(b)>u_i(c) \end{gather} y sea $v_i:\Lambda\to\mathbb{R}_+$ la función de utilidad esperada del jugador $i$: es decir, para todas las loterías $\lambda\in\Lambda$, \begin{gather} v_i(\lambda)=\sum_{a\in A}\lambda(a)u_i(a) \end{gather}

Ahora, consideremos las loterías $\lambda,\lambda’$, donde $\lambda(a)=(1/3)$ para todas las alternativas $a\in A$, y $\lambda’(b)=1$ (y, por lo tanto, $\lambda’(a)=\lambda’(c)=0$). Entonces, es posible construir dos funciones de utilidad $u_i,u’_i:A\to\mathbb{R}_+$ que satisfacen \begin{gather} v_i(\lambda)=\sum_{a\in A}\lambda(a)u_i(a)>\sum_{a\in A}\lambda’(a)u_i(a)=v_i(\lambda’)\\ v_i’(\lambda)=\sum_{a\in A}\lambda(a)u_i’(a)<\sum_{a\in A}\lambda’(a)u_i’(a)=v_i’(\lambda’) \end{gather}

Para ver esto, sea $u_i(a)=11$, $u_i(b)=3$ y $u_i(c)=1$; y sea $u_i’(a)=8$, $u_i’(b)=7$ y $u_i’(c)=0$. Entonces, \begin{gather} v_i(\lambda)=(1/3)11+(1/3)3+(1/3)1=(15/3)=5>3=(1/1)3=v_i(\lambda’)\\ v_i’(\lambda)=(1/3)8+(1/3)7+(1/3)0=(15/3)=5<7=(1/1)7=v_i’(\lambda’)\\ \end{gather}

Por lo tanto, dos funciones de utilidad que representan la misma preferencia sobre las alternativas pueden llevar a dos funciones de utilidad esperada diferentes que representan órdenes diferentes sobre las loterías. Estoy en el proceso de escribir una prueba para la cual este hecho plantea un desafío. Estoy preguntándome cuál es la suposición más común o natural para asegurar que cualquier par de funciones de utilidad que representan la misma preferencia sobre las alternativas generen dos funciones de utilidad esperada que representen órdenes idénticos sobre las loterías.

Por lo tanto: ¿cómo puedo asegurar que dos funciones de utilidad que representan la misma preferencia sobre las alternativas generen funciones de utilidad esperada que representen el mismo orden sobre las loterías?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Esto es desesperanzador. El orden de preferencia sobre ciertos resultados determina las preferencias sobre cada representación de utilidad esperada compatible si y solo si hay como máximo dos clases de indiferencia. En particular, si las preferencias son lineales, puede haber como máximo dos alternativas.

Es un resultado estándar que dos funciones de utilidad esperada representan las mismas preferencias sobre loterías si y solo si son transformaciones afines positivas entre sí ($v$ es una transformación afín positiva de $u$ si existen números $\alpha>0$ y $\beta$ tales que $v(a)=\alpha u(a)+\beta$ para todo $a\in A$). Si hay como máximo dos niveles de utilidad, entonces todas las funciones de utilidad esperada que inducen el mismo orden en ciertos resultados deben ser transformaciones afines positivas entre sí. De lo contrario, eso nunca se cumple.