Estoy resolviendo el siguiente problema (del Ejercicio 2.F.3 (b) en MWG) y me confundí con el axioma débil de la preferencia revelada y la definición de la relación de preferencia revelada. Aquí está la pregunta del ejercicio:
Pregunta
Se te da la siguiente información parcial sobre las compras de un consumidor. Él consume solo dos bienes.
¿Sobre qué rango de cantidades del bien 2 consumidas en el año 2 concluirías que el paquete de consumo del consumidor en el año 1 es revelado preferido al del año 2?
Mis Métodos
Tengo dos ideas sobre este ejercicio. La primera se basa en el axioma débil de la preferencia revelada, y funciona. Sin embargo, la segunda, que se basa en la definición de la relación de preferencia revelada, no funciona. Déjame explicarlo:
Denota $\mathbf{p}^1 = (p_1^1,p_2^1) = (100,100)$, $\mathbf{p}^2 = (p_1^2,p_2^2) = (100,80)$, $w_1 = 100 \times 100 + 100 \times 100 = 20000$, $w_2 = 120 \times 100 + 80y = 12000 + 80y$, $x(\mathbf{p}^1,w_1) = \{(100,100)\}$, y $x(\mathbf{p}^2,w_2) = \{(120,y)\}$, donde $y$ es la cantidad de consumo del bien 2 en el año 2.
En cuanto a mi primer método, en el libro de texto (MWG, página 29), dice lo siguiente:
En el marco de la demanda del consumidor, la idea detrás del axioma débil puede expresarse de la siguiente manera: Si $\mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',w') \leq w$ y $x(\mathbf{p},w) \neq x(\mathbf{p}',w')$, entonces sabemos que cuando se enfrenta a precios $\mathbf{p}$ y riqueza $w$, el consumidor eligió el paquete de consumo $x(\mathbf{p},w)$ aunque el paquete $x(\mathbf{p}',w')$ también era asequible, podemos interpretar esta elección como "revela" una preferencia por $x(\mathbf{p},w)$ sobre $x(\mathbf{p}',w')$. Por lo tanto, razonablemente podemos esperar que el consumidor muestre cierta consistencia en su comportamiento de demanda. En particular, dada su preferencia revelada, esperamos que elija $x(\mathbf{p},w)$ sobre $x(\mathbf{p}',w')$ siempre que ambos sean asequibles, Si es así, el paquete $x(\mathbf{p},w)$ no debe ser asequible en la combinación de precios-riqueza $(\mathbf{p}',w')$ en la que el consumidor elige el paquete $x(\mathbf{p}',w')$. Es decir, como lo requiere el axioma débil, debemos tener $\mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},w) > w'$.
Por lo tanto, debemos tener que, cuando se enfrenta a la combinación de precios-riqueza $(\mathbf{p}^1,w_1)$, tanto $x(\mathbf{p}^1,w_1)$ como $x(\mathbf{p}^2,w_2)$ son asequibles, y que $x(\mathbf{p}^1,w_1)$ no debe ser asequible en la combinación de precios-riqueza $(\mathbf{p}^2,w_2)$. Por lo tanto, \begin{align*} &\mathbf{p}^1 \cdot x(\mathbf{p}^2,w_2) = 100 \times 120 + 100y \leq 20000,\ \text{y}\\ &\mathbf{p}^2 \cdot x(\mathbf{p}^1,w_1) = 100 \times 100 + 80 \times 100 > 12000 + 80y. \end{align*} Estas desigualdades nos dan $y < 75$, que es la respuesta correcta.
Mi segundo método, por otro lado, no involucra el axioma débil, sino que aplica directamente la definición de la relación de preferencia revelada (Definición 1.C.2):
Definición 1.C.2$\quad$ Dada una estructura de elección $(\mathcal{B},C(\cdot))$, la relación de preferencia revelada $\succsim^*$ se define por \begin{align*} x \succsim^* y \iff \text{existe algún $B \in \mathcal{B}$ tal que $x, y \in B$ y $x \in C(B)$}. \end{align*} Además, decimos que "$x$ es preferido revelado a $y$" si hay algún $B \in \mathcal{B}$ tal que $x, y \in B$, $x \in C(B)$, y $y \notin C(B)$.
Basándome en esta definición, intenté resolver este ejercicio de la siguiente manera: Supongamos que $x(\mathbf{p}^1,w_1), x(\mathbf{p}^2,w_2) \in B_{\mathbf{p}^1,w_1} = \left\{z \in \mathbb{R}_+^2: \mathbf{p}^1 \cdot z \leq w_1\right\}$. Entonces, $\mathbf{p}^1 \cdot x(\mathbf{p}^1,w_1) \leq w_1$, lo cual es siempre verdadero; y $\mathbf{p}^1 \cdot x(\mathbf{p}^2,w_2) = 100 \times 120 + 100y \leq 20000$, lo cual implica que $y \leq 80$. Para que $x(\mathbf{P}^1,w_1)$ sea preferido revelado frente a $x(\mathbf{p}^2,w_2)$, necesitamos que $x(\mathbf{P}^1,w_1) \in C(B_{\mathbf{p}^1,w_1})$ pero $x(\mathbf{P}^2,w_2) \notin C(B_{\mathbf{p}^1,w_1})$. Sin embargo, esta condición se cumple automáticamente, porque en el contexto de la demanda de Walras, $C(B_{\mathbf{p}^1,w_1}) = x(\mathbf{p}^1,w_1) = \{(100,100)\} \neq \{(120,y)\} = x(\mathbf{p}^2,w_2)$, sin importar cuál sea $y$. Por lo tanto, concluí que $y \leq 80$ haría que $x(\mathbf{p}^1,w_1)$ sea preferido revelado a $x(\mathbf{p}^2,w_2)$.
Mis Preguntas
¿Podría alguien indicarme dónde me equivoqué en el segundo método? ¿Qué me faltó? ¡Realmente lo aprecio!
