Rompecabezas de probabilidad de una entrevista cuantitativa

Question

Una urna contiene 20 bolas de cada uno de los 7 colores del arco iris (un total de 140 bolas). Seleccionamos bolas una por una sin reemplazo. Dado que en los primeros 70 sorteos seleccionamos 5 bolas más rojas que amarillas, encuentra la probabilidad de que la 71ª bola sacada sea amarilla.

Fuente de la pregunta

Mi enfoque

Denotemos el evento de que la $71^{ra}$ bola sea amarilla como $A$ y el evento de que haya 5 bolas más rojas que amarillas en los primeros 70 sorteos como $B$ Necesitamos encontrar

$$ \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A, B)}{\mathbb{P}(B)} $$

Para calcular $\mathbb{P}(B)$, podemos hacer casos para el número de bolas rojas que vemos en nuestros primeros 20 sorteos (puede ser entre 0 y 15, ambos inclusive) y sumar las probabilidades El procedimiento que seguimos para llegar a la expresión es:

1. Elegir $r$ bolas rojas de 20
2. Colocarlas en $r$ de las primeras 70 posiciones
3. Elegir $r+5$ bolas amarillas de 20
4. Colocarlas en $r+5$ de las $70-r$ posiciones
5. Elegir $65-2r$ bolas de las 100 restantes de todos los colores y colocarlas en las $65-2r$ posiciones en los primeros 70 sorteos
6. Colocar las 70 bolas restantes después de llenar las primeras 70 posiciones con las 70 bolas restantes

Para calcular $\mathbb{P}(A | B)$, utilizo un procedimiento similar con los primeros 5 pasos iguales.

6. Elegir una de las $20-r$ bolas restantes y ponerla en la posición $71^{ra}$

Al hacerlo, el numerador y el denominador resultan ser sumas largas de coeficientes binomiales que no pude evaluar.

Mis pensamientos

Siendo una pregunta de entrevista de Quant, siento que la fuerza bruta no sería la forma de proceder con esto. Dos hechos que podrían ser explotados pero no sé cómo son:

1. El número de bolas es igual para todos los colores. ¿Se puede usar la simetría de alguna manera aquí?
2. 70 es la mitad de 140. ¿Hay una razón específica por la que han pedido 70 sorteos?

Cualquier ayuda, ya sea con la evaluación de la suma en el enfoque de fuerza bruta o un enfoque más inteligente sería genial. ¡Gracias!

Answer 1

Declaración del problema Un tarro contiene 140 bolas con 7 colores diferentes, 20 bolas por cada color. Se retiran un total de 70 bolas. Entre estas 70, el número de bolas rojas es 5 mayor que el número de bolas amarillas. La pregunta es: si se saca una bola más, ¿cuál es la probabilidad de que sea amarilla?

Soluciones A. Con los datos dados Condiciones:

R=Y+5, donde � R es el número de bolas rojas y � Y es el número de bolas amarillas entre las 70 retiradas. Análisis: El número real de bolas rojas y amarillas entre las 70 retiradas depende del número de "otros colores" retirados, lo que lleva a una gama de posibilidades. Resultado: La probabilidad de sacar una bola amarilla a continuación varía desde un mínimo de (o 7.14%) hasta un máximo de ​ (o 28.57%). B. Con datos probabilísticos añadidos Suposición: Las 70 bolas retiradas siguieron la distribución uniforme original de 7 colores. Análisis: Bajo esta suposición, 10 bolas amarillas habrían estado entre las 70 retiradas, dejando 10 bolas amarillas en el tarro. Resultado: La probabilidad de sacar una bola amarilla a continuación sería

o 14.29%. El 14.29% de probabilidad se encuentra dentro del rango calculado con los datos originales, sirviendo como una respuesta específica bajo una suposición razonable.