Límites inferiores y superiores del futuro del VIX

Question

Un cuento de dos índices, por Carr y Wu (Jrl. de Derivados, Primavera 2006)

Según el documento anterior de Carr y Wu (página 24 y 25), el precio de un futuro del VIX tiene como límite inferior la huelga justa de un intercambio de volatilidad de inicio futuro, y como límite superior la raíz cuadrada de la huelga justa de un intercambio de varianza de inicio futuro.

Aunque entiendo las matemáticas detrás de esto (desigualdad de Jensen), ¿cuál sería la explicación intuitiva de este resultado?

Answer 1

Breve premisa.

volatility swap: básicamente estás acordando intercambiar volatilidad realizada en el futuro. El pago depende de la diferencia entre la volatilidad realizada del activo subyacente y el nivel de volatilidad acordado (el strike).

variance swap: estás acordando intercambiar el cuadrado de la volatilidad realizada en el futuro. Una vez más, el pago depende de la diferencia entre la varianza realizada y el strike de la varianza.

desigualdad de Jensen: dada una función convexa, la función de la esperanza es menor o igual que la esperanza de la función. Si tuviera que explicárselo a mi abuelo, el promedio de los números al cuadrado siempre es mayor que el cuadrado de su promedio. Pero ya lo sabemos.

Futuros de volatilidad (VIX en nuestro caso) (gracias @nbbo2 por comentar): estás acordando comprar/vender el nivel futuro de volatilidad a un precio predeterminado en una fecha futura especificada. El pago se basa en la diferencia entre el precio futuro del VIX cuando entras en el contrato y el nivel real de volatilidad en la madurez del contrato.

Para ponerlo en términos "prácticos", desde una perspectiva de mercado, los arbitrajistas entre estos instrumentos no permitirían que los futuros del VIX se desviaran demasiado de estos límites. si se cotizaban por debajo del límite inferior (por debajo del strike del swap de volatilidad), los magos del arbitraje podrían obtener ganancias yendo largo en el futuro y corto en el swap. por otro lado, si los futuros del VIX rompieran el límite superior (raíz cuadrada del strike del swap de varianza), los arbitrajistas podrían ir cortos en el futuro y largo en el swap.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Como mencionas, los límites se deben a una corrección de convexidad debido a la función de raíz cuadrada.

Creo que la forma más intuitiva de entenderlos es considerando los futuros del VIX y el intercambio de volatilidad de inicio futuro como derivados en intercambios de varianza.

Sea $K_{t}^{\tau}$ la tasa de intercambio de varianza para $\tau = 30$ días. Bajo ciertas suposiciones técnicas, como se detalla en el documento que vinculaste, el futuro del VIX $F_t^T$ con vencimiento en $T$ es un precio a futuro de $\sqrt{K_T^\tau}$, y por lo tanto su valor está dado por \begin{align} F_t^T = \mathbb{E} \left[\sqrt{K_T^\tau} \vert \mathcal{F}_t \right]. \end{align}

Ahora, como la raíz cuadrada es una función cóncava, la expectativa de la raíz cuadrada es menor que la raíz cuadrada de la expectativa. Esto se debe a que los valores altos de $K_t$ contribuyen relativamente más a $\mathbb{E} \left[K_T^\tau \vert \mathcal{F}_t \right]$ que a $\mathbb{E} \left[\sqrt{K_T^\tau} \vert \mathcal{F}_t \right]$ (desigualdad de Jensen).

Debido a esto, obtenemos $$ F_t^T \leq \sqrt{\mathbb{E} \left[K_T^\tau \vert \mathcal{F}_t \right]}, $$ y reconocemos que el término bajo la raíz cuadrada son las tasas de intercambio de varianza de inicio futuro. Básicamente el mismo argumento se sostiene para el límite inferior.