¿Cuál es la diferencia matemática entre la Optimización de Media-Varianza y el CAPM?

Question

He pasado bastante tiempo revisando las matemáticas tanto de la Optimización de la Media-Varianza como del CAPM, y estoy tratando de precisar las diferencias matemáticas entre ambas. Para ambos, dejemos que $p$ sea un portafolio compuesto por activos riesgosos con rendimientos $\mathbf{r}=( r_1,r_2,\dots,r_m)$ y pesos $\mathbf{w} = (w_1,w_2,\dots,w_m)$, junto con un activo libre de riesgo con rendimiento $r_f$, de manera que

$$r_p = \mathbf{w}^T\mathbf{r}+(1 - \mathbf{w}^T\mathbf{1}_m)r_f$$

• Optimización de la Media-Varianza:

$$\begin{align} \text{Minimizar:}\ \ & \frac{1}{2}\mathbf{w}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w} \\ \text{Sujeto a: }\ \ & \mathbb{E}[r_p] = \mathbf{w}^T\mathbb{E}[\mathbf{r}]+(1 - \mathbf{w}^T\mathbf{1}_m)r_f \end{align}$$

Fuente: Mathematics for Finance, MIT (En realidad, no pude encontrar ninguna mención al CAPM, solo MVO)

• CAPM:

$$\begin{align} \text{Minimizar:}\ \ & \sqrt{\mathbf{w}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}} \\ \text{Sujeto a: }\ \ & \mathbb{E}[r_p] = \mathbf{w}^T\mathbb{E}[\mathbf{r}]+(1 - \mathbf{w}^T\mathbf{1}_m)r_f \\ \text{Luego:}\ \ & \text{Usar el caso específico donde }\mathbf{w}^T\mathbf{1}_m=1 \end{align}$$

Fuente: Video de QuantPy que creo se basa en estas notas de clase.

Entonces parece que MVO está minimizando la varianza, mientras que el CAPM minimiza la desviación estándar (asumiendo también una inversión total en el mercado). Nunca había escuchado que la diferencia se explicara de esta manera, ¿es correcta mi comprensión? ¿Cuáles son las consecuencias de elegir minimizar la varianza frente a minimizar la desviación estándar?

Answer 1

El CAPM es un modelo de fijación de precios de activos, mientras que la optimización de media-varianza es un tipo de optimización. Estos son objetos de dos categorías diferentes. Cuando caracterizas el CAPM como un problema de optimización, no estás explicando qué es el CAPM. En lugar de tu caracterización del CAPM, yo escribiría $$ \mathrm{E}(R_i)-r_f=\beta_i[\mathrm{E}(R_m)-r_f] $$ donde $R_i$ es el rendimiento del activo $i$ y $R_m$ es el rendimiento del mercado.

Puedes hacer optimización de media-varianza asumiendo un cierto modelo de fijación de precios de activos (como el CAPM). O podrías intentar derivar el CAPM asumiendo que los agentes en el mercado hacen cierta optimización (por ejemplo, media-varianza). Pero nuevamente, un modelo de fijación de precios de activos y un problema de optimización pertenecen a diferentes categorías.