Demostrando la existencia de un equilibrio de Nash de estrategia mixta para un juego simétrico de suma cero de 2 jugadores

Question

Estoy tratando de probar la existencia de NE de estrategia mixta para un juego simétrico de suma cero de 2 jugadores, bajo la condición de que dado que tienen $I$ estrategias puras y para la matriz de pagos $A$, $\exists x\in R_+^I$ tal que $xA\ge0$. Sé que puedo usar directamente el teorema de Nash, pero quiero demostrarlo explícitamente.

Hasta ahora he demostrado que el pago debe ser 0 ya que $A=-A^T$. Y si $xA$ siempre tiene elemento(s) negativo(s), la mejor respuesta de cada jugador debe ser alguna estrategia pura (al descomponer $xAy$). Pero parece que todo esto no es relevante para probar directamente la existencia de NE. ¡Por favor comparte conmigo si tienes alguna idea!

Answer 1

Una pequeña prueba interesante se encuentra en Brown y von Neumann (1950), vea también la tercera prueba (un poco más general) en Hofbauer (2000). Esta es la idea:

Para una estrategia mixta $x$ (un vector columna en el simplejo $I$) definimos la ganancia excesiva de la estrategia pura $i$ contra $x$ como $k_i(x)=\max\{(Ax)_i,\,0\}$. Sea $\bar k(x)=\sum_{j\in I} k_j(x)$ la suma de ganancias excesivas.

Ahora consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales conocido como las dinámicas de Brown-von Neumann-Nash (dinámicas BNN), $\dot x_i=k_i(x)-x_i\bar k(x)$.

Luego es bastante directo demostrar: La función $V(x)=\sum_{j\in I} k_j(x)^2$ es una función de Ljapunov global para las dinámicas BNN y por lo tanto todas las soluciones convergen al conjunto donde $V(x)=0$. Este conjunto es el conjunto de equilibrios de Nash, que por lo tanto no está vacío.