Estoy revisando un examen de macroeconomía y estoy atascado derivando e interpretando un resultado.
La pregunta comienza con el agregador CES para el producto agregado $Y$, basado en una serie de bienes intermedios $(y_i)$, $$Y=\left[\int_0^1y_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}di\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$$ y observa el caso límite cuando $\sigma \to 1$. Puedo mostrar que conforme $\sigma\to 1$, obtenemos $\ln Y = \int_0^1 \ln y_i di$ y las demandas de bienes intermedios son $$y_i=\left[\frac{P_{i}}{P}\right]^{-1}Y$$ Donde $P_i$ es el precio del bien intermedio, y $P$ es el índice de precios agregados determinado por $$\ln P =\int_0^1 \ln P_i di$$
Luego la pregunta pide derivar el margen de beneficio de los monopolistas del mercado intermedio. Para hacer esto, defino $\psi(Y_i)$ como el gasto mínimo requerido para producir la producción $Y_i$. Entonces, los monopolistas de bienes intermedios resuelven $$\max_{P_i}P_iY_i-\psi(Y_i)$$ $$st. \qquad Y_i=\left[\frac{P_i}{P}\right]^{-1}Y$$ Esto tiene la condición de primer orden $$0=P_i\frac{\partial Y_i}{\partial P_i}+Y_i-\psi'(Y_i)\frac{\partial Y_i}{\partial P_i}$$ Utilizando desde la condición que $\frac{\partial Y_i}{\partial P_i}=-\frac{P}{P_i^2}Y$ Derivo que esta FOC se convierte en $$0=\psi'(Y_i)\frac{P}{P_i^2}$$
Pienso que a partir de esto, puedo concluir que el margen de beneficio debe ser infinito ya que $P_i=\infty$ o $\psi'(Y_i)=0$. Sin embargo, no tengo intuición para este resultado ya que los agentes pueden sustituir un bien a medida que se vuelve más caro, por lo que no puedo ver por qué se tendría que cumplir $P_i=\infty$. Además $\psi'(Y_i)=0$ implica una producción nula del bien intermedio lo cual también creo que carece de sentido. El margen usual es $\frac{\sigma}{\sigma-1}$ que tiende a infinito cuando $\sigma \to 1$, pero no estoy seguro de por qué ocurre esto.
¿Alguien puede ayudarme a encontrar dónde cometí un error o explicar la intuición detrás de por qué el margen de beneficio sería infinito cuando la elasticidad de sustitución es 1? Estoy pensando en aplicar logaritmos en algún lugar del problema de los monopolistas intermedios pero no estoy seguro de dónde.
