¿Derivación de la ecuación de crecimiento neoclásico de tipo Solow?

Question

En el Capítulo 6 de la 12ª edición de "Desarrollo Económico" de Michael P. Todaro y Stephen C. Smith, se introduce una ecuación para ilustrar las consecuencias del rápido crecimiento de la población, derivada de 'la ecuación estándar de crecimiento neoclásico tipo Solow'. Entiendo los componentes individualmente, pero estoy teniendo dificultades con el proceso de derivación a partir de la función de producción estándar Y=f(K,L,R,T).

¿Podría alguien amablemente proporcionar información sobre cómo se deriva esta ecuación? Gracias

Answer 1

Esta es solo una logaritmización de una función de producción tipo Cobb-Douglas asumiendo tasas de crecimiento pequeñas y constantes. Para tasas de crecimiento pequeñas $ x $ $$ x \approx \ln(1+x). $$ La función de producción tipo Cobb-Douglas es $$ Y = AK^{\alpha}L^{1-\alpha}. $$ Asumiendo un crecimiento constante de las variables tienes $$ Y(1+y) = A(1+a)\left(K(1+k)\right)^{\alpha}\left(L(1+l)\right)^{1-\alpha}, $$ y así $$ 1+y = (1+a)(1+k)^{\alpha}(1+l)^{1-\alpha}. $$ Tomando el logaritmo de esto obtienes $$ \ln(1+y) = \ln(1+a) + \alpha\ln(1+k) + (1-\alpha)\ln(1+l). $$ Usando la aproximación logarítmica $$ y \approx a + \alpha k + (1-\alpha)l, $$ y después de algo de magia algebraica $$ y - l \approx a + \alpha (k - l). $$ La notación para $a$ era $t$ en tu ecuación, ¡pero por lo demás lo tenemos!

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P.d.: No he visto una función de producción del modelo Solow que incluya $R$ (recursos) antes, así que no sé cómo eso cambiaría las cosas, ¿pero aparentemente no?