Supongamos que $A$ es una matriz $2x2$ y ${\bf x}=(x_1, x_2)$. ¿Qué significa que "$f(Ax)$ sea supermodular"?

Question

Supongamos que $A$ es una matriz $2x2$, por ejemplo, $A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}$, y ${\bf x}=(x_1, x_2)$. Supongamos que $f()$ es continua y dos veces diferenciable.

¿Qué significa que "$f(Ax)$ sea supermodular"?

Por ejemplo, si $f(x)$ es supermodular, tenemos que las derivadas cruzadas de $f()$ con respecto a $x_1$ y $x_2$ son no negativas.

¿Cómo podemos representar de manera similar $f(Ax)$ como supermodular en términos de las segundas derivadas parciales y derivadas cruzadas?

Nota: Estoy interesado en la expresión para el caso continuo y no en la definición general de retícula si es posible.

¡Gracias por toda tu ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$ f(Ax) = f(a_{11} x_1 + a_{12} x_2, a_{21} x_1 + a_{22} x_2). $$ Entonces la derivada con respecto a $x_1$ está dada por: $$ f_1 a_{11} + f_{2} a_{21}. $$ Tomando la derivada de esto con respecto a $x_2$ da: $$ f_{11} a_{11} a_{12} + f_{12} a_{11} a_{22} + f_{21} a_{21} a_{12} + f_{22} a_{21} a_{22}. $$ La supermodularidad significa que esto es no negativo. Así que: $$ \sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^2 f_{ij} a_{i1} a_{j2} \ge 0 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}. $$