CES función: Lagrangiana o Kuhn-Tucker

Question

Tengamos el siguiente problema:

$$U(\boldsymbol{x}) = \left(x_1^\rho + x_2^\rho \right)^{\frac{1}{\rho}} \qquad s.t. \qquad P_1 x_1 + P_2 x_2 \leq M$$

¿Es óptimo resolver este problema a través del Lagrangiano puro?:

$$\mathscr{L} = \left(x_1^\rho + x_2^\rho \right)^{\frac{1}{\rho}} + \lambda \left( M - P_1 x_1 - P_2 x_2 \right) $$

o el Lagrangiano con restricciones de no-negatividad (o KKT):

$$\mathscr{L} = \left(x_1^\rho + x_2^\rho \right)^{\frac{1}{\rho}} + \lambda \left( M - P_1 x_1 - P_2 x_2 \right) + \mu_1 x_1 + \mu_2 x_2$$

La cuestión es que analizar sustitutos perfectos requiere el uso de restricciones de no-negatividad para obtener la solución correcta.

Sin embargo, por ejemplo, ¿qué pasa si $\rho = 0.9$ en lugar de $\rho = 1$? ¿Podríamos decir que la solución óptima siempre sería interior de manera que no necesitamos considerar las restricciones de no-negatividad?

Answer 1

Si $\rho < 1$ entonces la utilidad marginal (digamos con respecto a $x_1$ es igual a): $$ \frac{\partial U}{\partial x_1}(x_1, x_2) = x_1^{\rho - 1} (x_1^\rho + x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}- 1},$$ Esto tiende a $+\infty$ cuando $x_1$ tiende a cero.

Por lo tanto, nunca será óptimo establecer $x_1$ igual a cero.