¿Qué cantidades (medias, betas) deben ser constantes a lo largo del tiempo para que la prueba GRS sea válida?

Question

Estoy interesado en probar el CAPM usando la prueba GRS. Considere $N$ activos observados durante $T$ períodos de tiempo. Usando la notación de Cochrane "Asset Pricing" (2005), la prueba GRS consiste en ejecutar $N$ regresiones de series temporales de la forma $$ R^{ei}_t=\alpha_i+\beta_i f_t+\varepsilon^i_t \tag{12.1} $$ y probar la hipótesis conjunta $H_0\colon \alpha_1=\dots=\alpha_N=0$. Las $\alpha$ se tratan como errores de precios, por lo que es mejor que sean cero si el CAPM es un modelo adecuado.

¿Qué cantidades deben ser constantes a lo largo del tiempo para que la prueba GRS sea válida?
Supongo que las $\beta_i$ deberían ser constantes, pero ¿qué pasa con $E(R_t^{ei})$ y $E(f_t)$; ¿pueden ser variables en el tiempo?

Answer 1

Aquí está mi intento. No lo encuentro lo suficientemente exhaustivo como para convencerme, pero al menos es un comienzo.

Creo que el estimador OLS de $\beta_i$ utilizado en la prueba GRS implica que se asume (implícitamente) que los tres $\beta_i$, $E(R_t^{ei})$ y $E(f_t)$ son constantes en el tiempo. Después de todo, $$ \hat\beta_i^{OLS}=\frac{ \frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^T (R^{ei}_t-\bar{R}^{ei})(f_t-\bar{f}) }{ \frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^T (f_t-\bar{f})^2 } $$ donde usamos $\bar{R}^{ei}$ como el homólogo empírico de $E(R_t^{ei})$ para todos los $t$ y $\bar{f}$ como el homólogo empírico de $E(f_t)$ para todos los $t$. No se tiene en cuenta (empíricamente) la posibilidad de que $E(R_t^{ei})$ o $E(f_t)$ varíen en el tiempo.