Demostrando la estabilidad global en el Modelo de Solow Swan

Question

Considere una versión simplificada del modelo Solow-Swan en tiempo discreto, donde la tecnología se normaliza a uno y el tamaño de la población es constante.

La ecuación de Solow se da por $$\begin{equation} k_{t+1} = s f(k_t) + (1-\delta) k_t \end{equation}$$ donde $k_t \equiv \frac{K_t}{L}$ representa el capital por trabajador, $s \in (0,1)$ es la tasa de ahorro, $f(k)$ es la función de producción en forma intensiva, y $\delta \in (0,1)$ es la tasa de depreciación del capital físico.

Intento demostrar la estabilidad global de la siguiente manera:

Primero, un estado estacionario $k^{\ast}$ es un punto fijo de la ley de movimiento del capital: $k^{\ast} = g(k^{\ast})$, y es aproximadamente: $$\begin{equation} \frac{k^{\ast}}{f(k^{\ast})} = \frac{s}{\delta} \end{equation}$$

La existencia de un estado estacionario $k^{\ast}$ que satisface la ecuación anterior está garantizada por el teorema del valor intermedio ya que $g(k)$ es continua en su dominio y está definida en un intervalo cerrado, digamos $[a,b]$, con $g(a) \ne g(b)$. La unicidad (descartando el estado estacionario trivial, $k^{\ast}=0$) se deriva del hecho de que $g(k)$ es estrictamente creciente (aunque acotada superiormente debido a las condiciones de Inada, es decir, $f'(\infty) = 0$).

Ahora, pruebo la estabilidad global de la siguiente manera:

La función $g(k) = s f(k) + (1-\delta) k_t$ satisface: $i) g'(k) > 0$ y $ii) g''(k) < 0$. En consecuencia, $g(k) > k$ si y solo si $k < k^{\ast}$. De manera similar, $g(k) < k$ si y solo si $k > k^{\ast}$. La estabilidad global se debe al rendimiento marginal decreciente del capital. Para ver esto, sea $\gamma$ el crecimiento de $k$:

$$\begin{equation} \gamma = \frac{k_{t+1} -k_t}{k_t} = s \frac{f(k_t)}{k_t} - \delta = \frac{s}{z(k_{t})} - \delta \end{equation}$$ Aquí, $z(k_{t}) = \frac{k_t}{f(k_t)}$ es estrictamente creciente en $k_t$, y $z(k^{\ast}) = s/\delta$. Trivialmente, la tasa de crecimiento del capital por trabajador en $k^{\ast}$ es cero. Es evidente que si $k' > k^{\ast}$, ocurre un crecimiento negativo en $k$ hasta que el capital por trabajador converge a $k^{\ast}$. De manera similar, si $k' < k^{\ast}$, ocurre un crecimiento positivo en $k$ hasta que converge a $k^{\ast}$.

¿Considera que la demostración presentada de esta manera es lo suficientemente rigurosa, o cree que hay margen para mejorar?

Answer 1

La afirmación de que $k^{\ast}$ es el punto fijo se sigue del teorema del valor intermedio (ya que $g(k)$ es continua en su dominio y $g(k') \neq g(k'')$ para $k' \neq k''$). La unicidad se deriva del hecho de que $g(k)$ es estrictamente creciente

Tu enfoque sobre la demostración de la existencia y unicidad es sustancialmente correcto, pero necesita algunas especificaciones, en particular sobre la función a la que se aplica el teorema del valor intermedio y el uso de las condiciones de Inada.

Existencia de un punto fijo

Se debe especificar a qué función aplicamos el teorema del valor intermedio.

La existencia de un equilibrio de estado estacionario significa que existe una constante $k^*$ tal que $$k(t+1)= g(k(t))= s f(k(t)) +(1- \delta) k(t) = k(t)\tag{1}.$$

Por lo tanto, un valor de estado estacionario $k^*$ debe satisfacer, para $k\neq 0$:

$$\frac {f(k)}{k}= \frac {\delta}{s} \tag{2}$$

Podemos aplicar el teorema del valor intermedio a la función $\frac {f(k)}{k}$ anterior.

Aquí, las condiciones de Inada son cruciales. De hecho, aplicando las condiciones de Inada y la regla de De l'Hôpital, tenemos:

$$\lim_{k\rightarrow 0} {\frac {f(k)}{k}}= \lim_{k\rightarrow 0}{\frac {f'(k)}{1}}= +\infty \tag{3}$$

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} {\frac {f(k)}{k}}= \lim_{k\rightarrow 0}{\frac {f'(k)}{1}}= 0,\tag{4}$$

donde las segundas igualdades de las ecuaciones $(3)$ y $(4)$ son las condiciones de Inada.

El teorema del valor intermedio dice que una función continua en un intervalo $I$ toma todos los valores entre su $\inf$ y su $\sup$.$^2$

Aquí, $\inf{\frac {f(k)}{k}}=0$ y $\sup{\frac {f(k)}{k}}=+\infty$, por lo que $\frac {f(k)}{k}$ toma todos los valores en $\mathbb{R}^+$, incluyendo $\frac {\delta}{s}$

Por lo tanto, existe un equilibrio de estado estacionario.

$$***$$

Sin embargo, no puedo entender por qué dijiste:

y $g(k') \neq g(k'')$ para $k' \neq k''$.

Esto significa simplemente que la función $g$ es inyectiva, lo cual ya sabemos dado que es estrictamente creciente.

Pero ¿qué tiene que ver esto con la existencia y el teorema del valor intermedio? El teorema del valor intermedio no requiere que la función sea inyectiva, y la demostración anterior se mantendrá incluso si $g$ no fuera inyectiva.

Considera el gráfico habitual, en el cual tenemos un $g$ no inyectiva: esto evidentemente no afecta la existencia de un estado estacionario, sino solo su unicidad:

$$\;$$

Unicidad

Tu afirmación sobre la unicidad es correcta, observamos en particular que, debido a la monotonía estricta de $g(k)$ (y $g''<0$), para $k$g(k)>k$, y para$k>k^*g(k)>k$. Por lo tanto, el único punto en el que$g(k)=k$es$k^*$.

Estabilidad

Un argumento cualitativo para establecer la estabilidad es considerar que si $k(t)$ está por encima de $k^*$, disminuye, y si está por debajo de $k^*$, aumenta, y esto está relacionado con los rendimientos decrecientes del capital.

Una prueba formal y analítica de estabilidad, sin embargo, requiere teoremas sobre la estabilidad de sistemas dinámicos discretos, mucho más complicados.

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$^1$ Por supuesto, hay un punto fijo trivial, para $k=0$, pero lo descartamos por falta de interés económico, y además es inestable.

$^2$ Especifico esta versión del teorema del valor intermedio, con $\inf$ y $\sup$, porque a menudo encontramos una versión diferente, donde se especifican los valores de la función en los extremos de un intervalo cerrado $[a,b]$, pero las dos versiones son equivalentes.

Answer 2

Un punto fijo único puede no ser estable. Por ejemplo, revisa el sistema dinámico $$x_{t+1} = 2x_t,$$ donde el punto fijo único es $x^* = 0$, pero esto no es estable, de hecho, comenzando desde cualquier punto que no sea 0 obtendrás una trayectoria que se aleja del punto fijo. Para demostrar la estabilidad global, necesitas mostrar que ninguna trayectoria se aleja del punto fijo, demostrar que su distancia no aumenta.

https://en.wikipedia.org/wiki/Stability_theory#Overview_in_dynamical_systems

Las mismas ecuaciones pueden ser utilizadas, pero esto es lo que necesitas demostrar y hacia lo que debes trabajar.