Prueba: La ley de la demanda se cumple si WA, la ley de Walras, la homogeneidad de grado 0 y la homogeneidad de grado 1 en riqueza se cumplen para las funciones de demanda de Walrasiana

Question

Problema

Se me pide demostrar el siguiente resultado (Ejercicio 2.F.5 de MWG):

La ley de la demanda siempre se cumple si la función de demanda walrasiana $x(\mathbf{p},w)$ satisface el axioma débil de preferencia revelada (WARP), la ley de Walras, la homogeneidad de grado 0 y la homogeneidad de grado 1 con respecto a la riqueza.

Mi Intento Hasta Ahora

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Supongamos que la función de demanda walrasiana $x(\mathbf{p},w)$ satisface el axioma débil de preferencia revelada (WARP), la ley de Walras, la homogeneidad de grado 0 y la homogeneidad de grado 1 con respecto a la riqueza $w$. Queremos demostrar que, para cualquier cambio de precio de $\mathbf{p}$ a $\mathbf{p}'$ (sin cambio en la riqueza), tenemos \begin{align*} (\mathbf{p}' - \mathbf{p}) \cdot [x(\mathbf{p}',w) - x(\mathbf{p},w)] \leq 0.\tag1 \end{align*} Por homogeneidad de grado 1 en $w$, demostraremos \begin{align*} (\mathbf{p}' - \mathbf{p}) \cdot [x(\mathbf{p}',1) - x(\mathbf{p},1)] \leq 0\tag2 \end{align*} para todo $\mathbf{p}$ y $\mathbf{p}'$. Consideramos los siguientes casos:

Caso 1: Supongamos que $x(\mathbf{p},1) = x(\mathbf{p}',1)$. Entonces la desigualdad $(2)$ siempre se cumple con $(\mathbf{p}' - \mathbf{p}) \cdot [x(\mathbf{p}',1) - x(\mathbf{p},1)] = 0$.

De ahora en adelante, supongamos que $x(\mathbf{p},1) \neq x(\mathbf{p}',1)$.

Caso 2: Supongamos que $\mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},1) > 1$ y $\mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',1) > 1$. Observamos que, por la ley de Walras, $1 = \mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p},1) = \mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p}',1)$. Entonces, \begin{align*} (\mathbf{p}' - \mathbf{p}) \cdot [x(\mathbf{p}',1) - x(\mathbf{p},1)] &= \mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p}',1) - \mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},1) - \mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',1) + \mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p},1)\\ &= 1 - \mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},1) - \mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',1) + 1\\ &< 0. \end{align*}

Aquí es donde me quedé atascado:

Caso 3: Supongamos que $\mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},1) \leq 1$ y $\mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',1) > 1$.

Caso 4: Supongamos que $\mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},1) > 1$ y $\mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',1) \leq 1$.

Mi Pregunta

¿Podría alguien ayudarme a derivar la desigualdad $(2)$ para los Casos 3 y 4 anteriores? Básicamente podríamos simplemente considerar el Caso 3. Quiero demostrar que, si $\mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},1) \leq 1$ y $\mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',1) > 1$, entonces \begin{align*} \mathbf{p}' \cdot x(\mathbf{p},1) + \mathbf{p} \cdot x(\mathbf{p}',1) \geq 2. \end{align*} ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Necesitamos demostrar que: $$ (p - p')\cdot(x(p,1) - x(p', 1)) \le 0. $$ Tenga en cuenta que si $x(p,1) = x(p', 1)$ entonces esto se cumple obviamente, así que asumimos que $x(p,1) \ne x(p', 1)$.

Tenga en cuenta que la condición es equivalente a (usando $1 = p \cdot x(p,1) = p'\cdot x(p',1)$): $$ 2 - p' \cdot x(p,1) - p \cdot x(p',1) \le 0. \tag{1} $$

Hay 3 casos a considerar.

1. Si $1 \le p \cdot x(p',1)$ y $1 \le p' \cdot x(p,1)$ entonces podemos sumar las dos desigualdades para obtener la condición $(1)$.

2. Si $p \cdot x(p,1) = 1 \ge p \cdot x(p', 1)$ entonces permita que $z \ge 1$ sea tal que $1 = p \cdot x(p', z)$. (aquí $z = 1/(p \cdot x(p', 1))$. Luego, WARP requiere que $p' \cdot x(p', z) = z \le p' \cdot x(p,1)$. Tenemos las dos condiciones: $$ 1 = p \cdot x(p', z) \text{ y } z \le p' \cdot x(p,1). $$ Al sumar ambas obtenemos: $$ 1 + z - p \cdot x(p', z) - p' \cdot x(p,1) \le 0. $$ Usando $x(p', z) = x(p', 1) z$ esto se puede reescribir como: $$ 1 + z\underbrace{(1 - p \cdot x(p',1))}_{\ge 0} - p' \cdot x(p,1) \le 0. $$ Dado que $z \ge 1$, obtenemos, $$ 2 - p \cdot x(p', 1) - p' \cdot x(p,1) \le 0. $$ Esto nos da la condición $(1)$

3. Si $p' x(p', 1) = 1 \ge p' x(p,1)$ obtenemos un razonamiento similar al del punto $2$ anterior (intercambiando $p'$ y $p$).