Diferencia entre propiedades estadísticas de los retornos logarítmicos y los retornos simples

Question

Dada una serie de tiempo de rendimientos diarios simples, ¿cómo se verá la media y la desviación estándar de los rendimientos logarítmicos y los rendimientos simples? Pienso que la media de los rendimientos simples será más alta debido a la reducción de la volatilidad. Pero estoy confundido acerca de la desviación estándar.

Intenté el siguiente experimento:

mu = 0.0005
sigma = 0.01
for _ in range(10):
  log_rets = np.random.normal(mu, sigma, 10000)
  simple_rets = np.expm1(log_rets)

  log_mean    = np.expm1(log_rets.mean())
  simple_mean = simple_rets.mean()
  print(f"Media: {log_mean:.6f} vs {simple_mean:.6f}")

  log_std    = np.expm1(log_rets.std())
  simple_std = simple_rets.std()
  print(f"Desv. Estándar: {log_std:.6f} vs {simple_std:.6f}")

Media: 0.000430 vs 0.000480
Desv. Estándar: 0.010075 vs 0.010030

Media: 0.000646 vs 0.000695
Desv. Estándar: 0.009959 vs 0.009916

Media: 0.000481 vs 0.000531
Desv. Estándar: 0.010110 vs 0.010064

Media: 0.000394 vs 0.000442
Desv. Estándar: 0.009882 vs 0.009840

Media: 0.000604 vs 0.000655
Desv. Estándar:  0.010152 vs 0.010110

Media: 0.000342 vs 0.000393
Desv. Estándar:  0.010067 vs 0.010021

Media: 0.000399 vs 0.000449
Desv. Estándar:  0.010039 vs 0.009996

Media: 0.000579 vs 0.000628
Desv. Estándar:  0.009954 vs 0.009912

Media: 0.000409 vs 0.000459
Desv. Estándar:  0.010004 vs 0.009959

Media: 0.000205 vs 0.000255
Desv. Estándar:  0.009993 vs 0.009946

¿Alguna indicación/aclaración será útil?

Answer 1

Intento traducir tu código a variables aleatorias, entonces las cosas podrían estar claras. Supongamos que $X$ es normal con $X\sim N(\mu,\sigma^2)$. Este es tu logaritmo de retorno. Entonces $Y = \exp(X)$ es lognormal con esperanza $$E[Y] = \exp(\mu + \sigma^2/2)$$ y varianza $$V[Y] = (\exp(\sigma^2)-1) \exp(2\mu + \sigma^2)$$ (ver por ejemplo, https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_log-normal).

Entonces lo que calculas como log_mean es
$$\exp(E[X])-1 = \exp(\mu)-1 \approx 1 + \mu + 1/2 \mu^2 -1 = \mu + 1/2 \mu^2$$ y la simple_mean es $$E[\exp(X)-1] = E[\exp(X)]-1 = \exp(\mu + \sigma^2/2)-1 \approx \mu + \sigma^2/2 + 1/2 \left( \mu^2 + 2 \mu \sigma^2/2 + \sigma^4/4 \right)$$ Asumiendo que $\mu$ y $\sigma$ son números pequeños, comparamos $ \mu + 1/2 \mu^2 $ con $ \mu + 1/2 \mu^2 + \sigma^2/2$.

En resumen, tu simple_mean debería ser aproximadamente $\sigma^2/2$ más grande que log_mean.

Para la varianza podríamos hacer cálculos similares a los anteriores. ¿Cómo te funciona lo anterior? Lo que ves es que solo se usó la aproximación de la función exponencial $$\exp(x) \approx 1 + x + x^2/2$$ y los momentos de la lognormal.

EDICIÓN: Comparemos los términos de desviación estándar.

Tenemos log_std que es $$\exp(\sqrt{V[X]})-1 = \exp( \sigma )-1 \approx \sigma + 1/2 \sigma^2$$. Pregunta aquí: ¿por qué aplicas $\exp(x)-1$ a la desviación estándar? Observación: con $\sigma= 0.1$ pero estimado a partir de la muestra, este resultado es consistente con los valores que publicaste.

El término para simple_std es más complejo:

$$\sqrt{V[\exp(X)-1]} = \sqrt{V[\exp(X)]} = ((\exp(\sigma^2)-1) \exp(2\mu + \sigma^2))^{1/2}.$$ Luego reaparece un término bien conocido $$\sqrt{(\exp(\sigma^2)-1)} \exp(\mu + 1/2\sigma^2),$$ que puede aproximarse de la siguiente manera (considerando solo términos cuadráticos): $$\sqrt{ 1+ \sigma^2 -1 } (1 + \mu + \sigma^2 + \mu^2 + \mu \sigma^2 ).$$ Simplificando los primeros términos obtenemos $$\sigma (1 + \mu + \sigma^2 + \mu^2 + \mu \sigma^2).$$ Nuevamente, conservando solo términos cuadráticos como máximo, obtenemos $$\sigma + \mu \sigma.$$

Entonces, creo que la comparación de las desviaciones estándar depende de los valores específicos de $\mu$ y $\sigma$. En tu ejemplo $\sigma^2/2 = 2.5 * 10^{-5}$ y $\mu\sigma = 5 * 10^{-6}$. Por lo tanto, dejando de lado los errores de muestreo, log_std debe ser un poco más alto, ¡lo cual es cierto! :)

Answer 2

El logaritmo de rendimiento tiene algunas propiedades matemáticas interesantes que pueden ser útiles en algunos modelos. Aquí hay algunas propiedades que podrían ayudar:

• Los rendimientos logarítmicos son más útiles si desea tener en cuenta la capitalización (más fácil de calcular)
• Si los precios siguen una distribución log-normal, entonces los rendimientos logarítmicos también seguirán una distribución normal (probablemente el caso de uso más importante)
• Si los rendimientos están cerca de cero, entonces el rendimiento logarítmico es una mejor aproximación del rendimiento real (piense en situaciones de puntos base).
• Un número grande positivo tiene menos impacto en la función logarítmica y un número grande negativo tiene un gran impacto (por lo que si su cartera cae un 50%, necesita aumentar un 100% para recuperarse)

La mayoría de lo anterior proviene de las propiedades logarítmicas.