¿Cómo argumento que "los precios agregan creencias" en este equilibrio walrasiano?

Question

Considerar una economía de $n$ personas con solo 1 bien y 2 estados de la naturaleza $r,s$. La función de utilidad del consumidor $i$ es $$u_i(x_{ir},x_{is})=\pi_i \ln x_{ir}+(1-\pi_i)\ln x_{is}$$ donde $\pi_i\in (0,1)$ es la "probabilidad subjetiva del estado $r$". Supongamos que todos ellos tienen dotaciones de $w_i=(1,1)$.

¿Cómo encuentro un equilibrio de Walras en esta economía? Y ¿cómo argumento que en este equilibrio, los precios agregan creencias?

Esto es lo que he hecho. El problema del consumidor $i$ es \begin{align} \max \pi_i \ln x_{ir}+(1-\pi_i)\ln x_{is}\\ s.t. p_r x_{ir}+p_s x_{is}=p_r+p_s \end{align} Usando el Lagrangiano y las condiciones de primer orden, obtengo $$\frac{\pi_i x_{is}}{(1-\pi_i)x_{ir}}=\frac{p_r}{p_s}$$ entonces $x_{ir}=\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\frac{p_s x_{is}}{p_r}$. Al sustituir esto en la restricción presupuestaria, puedo obtener $p_s x_{is}=1-\pi_i$. ¡Estoy muy cerca! ¿Cómo sigo?

La intuición me dice que en equilibrio, $x_i=(1,1)$. ¿No significa esto que esta economía es autarquía?

Adicionalmente, supongamos que no hay mercados contingentes en la fecha 0. En su lugar, se pueden intercambiar 2 activos en la fecha 0. El activo #1 paga 1 unidad del bien en $r$ y nada en $s$; el activo #2 paga 1 unidad del bien en $r$ y en $s$. ¿Cómo encuentro un equilibrio de Radner?

Answer 1

El equilibrio no necesariamente será $(1,1)$. ¿Por qué? Bueno, imagina una economía con solo tú y yo. Tus creencias son (.99,.01) y mis creencias son (.01,.99). ¿Por qué ambos consumiríamos (1,1)? ¿No estaríamos mejor consumiendo más en el estado en el que creemos que es más probable?

Primero, asumamos $p_r=1$, podemos hacerlo. La condición de primer orden (dejando de lado el subíndice i por un momento),

$$x_sp_s=\frac{1-\pi}{\pi}x_r$$

Lanzamos eso en la restricción presupuestaria para obtener

$$x_r+\frac{1-\pi}{\pi}x_r=1+p_s$$

$$\implies x_r^i=(1+p_s)\pi^i$$

Ahora, el equilibrio del mercado dice $\sum_ix^i_r=N$ lo que implica $$\sum_i\frac{\pi_i}{N}=\frac{1}{1+p_s}$$

El lado izquierdo es la creencia promedio, por lo tanto, los precios son una función de la creencia promedio. Sea $\Pi=\sum_i\frac{\pi_i}{N}$, entonces tenemos

$$p_s=\frac{1-\Pi}{\Pi}$$

Recuerda que escalamos $p_r=1$, por lo tanto $p_s$ es realmente solo el precio relativo del bien $s$. Así que realmente tenemos

$$\frac{p_s}{p_r}=\frac{1-\Pi}{\Pi}$$

La relación de precios es la misma que la relación de creencias promedio.

Para el Radner, tu estructura de activos es completa. ¿Eso ayuda?