Problema del consumidor

Question

En el problema básico de elección del consumidor, el conjunto de presupuesto $B(p, w)$, con $p$ el vector de precios pertenecientes a $\mathbb{R}^N_{++}$ y $w >0$ riqueza, define un conjunto convexo. A partir de eso, no entiendo por qué esto implica que si la función de utilidad $U: X \to \mathbb{R}$ es estrictamente cóncava, entonces la solución $x^*(p, w)$ es única para cada $(p,w)>0$.

Answer 1

Consideramos el siguiente problema: $$\max_{x} u(x) \text{ s.t. } p'x \le w.$$ Veamos que si $u$ es estrictamente cóncava, entonces la solución (si existe) es única.

Probamos por contradicción. Supongamos que la solución no es única. Entonces deberían existir al menos dos soluciones $x_1$ y $x_2$. Como ambos paquetes son óptimos, deberían dar la misma utilidad, por lo que $u(x_1) = u(x_2)$.

Además, ambos paquetes deberían estar dentro de la restricción presupuestaria: $p' x_1 \le w$ and $p' x_2 \le w$.

Ahora, tome cualquier combinación convexa estricta de estos dos paquetes, digamos $\widetilde{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$. Como el conjunto de presupuesto es convexo, tenemos que $p' \widetilde{x} = \frac{1}{2} p'x_1 + \frac{1}{2} p'x_2 \le w$, por lo que el paquete $\widetilde{x}$ también está dentro del conjunto de presupuesto.

Pero ahora, por la estricta concavidad de $u$, tenemos que: $$u(\widetilde{x}) = u(\frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2} x_2) > \frac{1}{2}u(x_1) + \frac{1}{2} u(x_2) = u(x_1).$$ (La última igualdad se sigue de $u(x_1) = u(x_2)$). Sin embargo, esto es imposible ya que $x_1$ era óptimo (es decir, da la mayor utilidad para todos los paquetes en el conjunto de presupuesto).