Coliseo Fight - Un problema de probabilidad

Question

Declaración del problema: Alice y Bob están en la época romana y cada uno tiene 4 gladiadores. Las fortalezas de cada uno de los gladiadores de Alice son 14, mientras que los gladiadores de Bob tienen fortalezas de 4, 5, 9 y 12. El torneo va a consistir en que Alice y Bob elijan gladiadores para luchar uno contra el otro uno a la vez. Luego, los dos gladiadores luchan hasta la muerte sin empates. Si los dos gladiadores tienen fortalezas x e y, respectivamente, entonces la probabilidad de que el gladiador con fuerza x gane es $\frac{x}{x+y}$. El gladiador ganador también hereda la fuerza de su oponente. Esto significa que si un gladiador de fuerza x gana contra un gladiador de fuerza y, el ganador ahora tiene una fuerza de x+y. Alice va a elegir primero para cada pelea entre sus gladiadores restantes. Después, Bob puede seleccionar su gladiador (asumiendo que tiene uno) para enfrentarse al que Alice seleccionó. El ganador del torneo es la persona que tiene al menos un gladiador restante al final. Suponiendo que Bob juega de manera óptima, ¿cuál es su probabilidad de ganar el torneo?

Esta pregunta fue tomada de quantguide, enlace original - https://www.quantguide.io/questions/colosseum-fight

¿Alguna idea sobre cómo resolver esto? Estoy completamente perdido, cada vez que intento pensar en el problema a fondo, el número de casos simplemente explota, debe de haber alguna manera elegante de encontrar su respuesta

Recientemente vi un enlace en stackexchange, tal vez aquí o tal vez en MathOverflow, a un escrito titulado algo así como "Juegos que no juegan las personas" de John Conway que tenía esto pero ahora no puedo encontrarlo. La clave es darse cuenta de que están apostando fuerza en cada pelea y la apuesta es justa

Gracias

Answer 1

Creo que la respuesta es 4+5+9+12 / (4+5+9+12+1+2+3+4).

Comenzando con un problema simple de 2 gladiadores (fortalezas A, B) vs 1 gladiador (fortaleza Z). Independientemente del orden, la probabilidad de ganar es (A+B)/(A+B+Z). Esto también se aplica a N vs 1.

Probabilidad de que Z gane ambas rondas:

• A va primero: Z/(A+Z) * (A+Z)/(A+B+Z)
• B va primero: Z/(B+Z) * (B+Z)/(A+B+Z)

Para cualquier situación de N vs 1, el orden no importa, por lo que las estrategias no importan. Después de la primera ronda de una situación de 2 vs 2, se convierte en un N vs 1 donde las estrategias no importan. La elección del primer combate en un 2 vs 2 no importa.

Dos jugadores 1 (A, B) y 2 (Y, Z). Las probabilidades de que el jugador 2 gane para cada combinación de primer combate:

• A vs Y: Y/(A+Y) * (A+Y+Z)/(A+Y+Z+B) + A/(A+Y) * (Z)/(A+Y+Z+B) = (A+Y)(Y+Z)/(A+Y)(A+Y+B+Z) = (Y+Z)/(A+Y+B+Z)
• Al intercambiar etiquetas, los otros casos son idénticos.

Esto muestra que en el caso de 2 vs 2, el orden no importa y las estrategias no importan.

Para un caso de 3 vs 2, creo que podemos mostrar que el orden del primer combate no importa. No debería ser muy tedioso porque se convertirá en un caso de 3 vs 1 o 2 vs 2. Continuando esta lógica para 3 vs 3 y así sucesivamente, creo que podemos mostrar que la estrategia no importa para 4 vs 4 y así obtener la proporción de la suma de las fortalezas individuales.