Supuesto CRS en el modelo de Solow

Question

¿Puedes explicar por qué el modelo de crecimiento de Solow asume "rendimientos constantes a escala"?

Answer 1

Desde un punto de vista económico, la suposición de Rendimientos Constantes a Escala puede tener varias razones, y no son específicas del modelo de Solow.

Puedo citar lo que Solow mismo dice sobre la suposición de Rendimiento Constante a Escala en su famoso artículo Una contribución a la teoría del crecimiento económico$^1$:

Sobre la producción, todo lo que diremos en este momento es que muestra rendimientos constantes a escala. Por lo tanto, la función de producción es homogénea de primer grado. Esto equivale a asumir que no hay un recurso no aumentable escaso como la tierra. Los rendimientos constantes a escala parecen la suposición natural de hacer en una teoría del crecimiento. (p. 67)

Pero en el modelo de Solow, la suposición de Rendimientos Constantes a Escala tiene una gran importancia desde un punto de vista formal, ya que permite una formulación del modelo que es matemáticamente fácil de manejar, al menos gráficamente.

En resumen, permite transformar el modelo en una ecuación diferencial ordinaria que es posible de resolver gráficamente y permite el análisis usual de estado estacionario y análisis estático comparativo.

Y también puede resolverse analíticamente si asumimos formas particulares de la función de producción, en particular una Cobb-Douglas.$^2$

La razón por la cual los Rendimientos Constantes a Escala permiten esta simplificación es que permiten escribir lo que se llama la función de producción intensiva, y transforman el modelo en una forma que está formulada en términos de variables per cápita.

Considera una función de producción genérica que tiene las propiedades usuales

$$Y=F(K, L)\;\; (1)$$

donde las variables tienen el significado habitual: $Y$ es producción, $L$ es trabajo, $K$ es capital. Esta es una función de dos variables.

Los Rendimientos Constantes a Escala significan que si se multiplica cada factor, es decir $K$ y $L$, por una constante positiva $\lambda$ la producción también se multiplica por $\lambda$, es decir:

$$\lambda Y= F(\lambda K, \lambda L)\;\; (2)$$.

Si tomamos un valor particular de $\lambda$, $1/L$, podemos reescribir $(2)$ como $$\frac{1}{L}Y = F(\frac{1}{L}K, \frac{1}{L}L)\;\; (3)$$

y definiendo las variables per cápita $y\equiv Y/L$ y $k\equiv K/L$ podemos reescribir $(3)$ como

$$y=F(k,1)$$

o, eliminando el $1$ en los corchetes

$$y=f(k)\;\;(4)$$.

Esta última ecuación es la llamada función de producción intensiva, que vincula la producción per cápita al capital per cápita, independientemente de los niveles absolutos de $K$ y $L$.

Todo esto nos permite escribir el modelo en términos de las variables per cápita solamente. Por lo tanto, tenemos una simplificación drástica, porque la función de producción ahora abarca solo una variable independiente $k$, no dos variables, $Y$ y $K$.

Como consecuencia, el modelo puede ser reducido a una ecuación diferencial ordinaria, la llamada ecuación fundamental de crecimiento, que es una ecuación diferencial que involucra solo una función desconocida, $k(t)$ (que es $k$ como función del tiempo):$^3$

$$\dot k(t)= sf(k(t))- (n+d)k(t)\;\;(5)$$

donde $s$ es la tasa de ahorro, $d$ es depreciación, y $n$ es la tasa de crecimiento de la población.

Estableciendo $\dot k=0$ en la ecuación $(5)$ tenemos la ecuación que nos da el valor de $k$ para el cual $k$ es constante, a la que denotamos $k^*$.

$$\dot k(t)= sf(k(t))- (n+d)k(t)=0\;\;(5')$$

Luego Solow muestra cómo resolver cualitativamente esta ecuación diferencial ordinaria $(5')$, con el acostumbrado y bonito gráfico a continuación. Observa que un gráfico de dos dimensiones es posible porque ahora solo tenemos una variable independiente, $k$.

La solución de la ecuación diferencial $(5')$ es $k^*$, que conocemos como el valor de estado estacionario de $k$ del modelo.

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$^1$ Solow, Robert M., ‘Una Contribución a la Teoría del Crecimiento Económico’, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1956), pp. 65-9.

$^2$ Por supuesto, la formulación de un modelo matemáticamente fácil de manejar no es un ejercicio formal estéril, en sí mismo. El objetivo de Solow es mostrar que con suposiciones más generales, se puede ir más allá de las conclusiones del modelo de Harrod-Domar, que critica en la introducción de su artículo. Su enfoque es mostrar que las conclusiones del modelo de Harrod-Domar, que a largo plazo el sistema económico está en un equilibrio de 'navaja’, o está condenado a la inestabilidad, dependen crucialmente de suposiciones demasiado restrictivas sobre la función de producción. En cambio, Solow muestra que con una función de producción más general (la llamada función de producción neoclásica con rendimiento constante a escala) el sistema económico puede alcanzar un estado estacionario de equilibrio a largo plazo, que bajo algunas suposiciones es estable: “La conclusión básica de este análisis es que […] de hecho puede no haber […] ninguna navaja. El sistema puede ajustarse a cualquier tasa dada de crecimiento de la fuerza laboral y, eventualmente, acercarse a un estado de expansión proporcional sostenida.” (Solow, cit. p.73)

$^3$ En el caso de que tuviéramos dos funciones desconocidas, tendríamos una ecuación diferencial parcial, que sería mucho más complicada de resolver, si es que es posible.

Answer 2

Una forma de conceptualizar los rendimientos constantes a escala es imaginando múltiples plantas que emplean la misma tecnología, donde es factible iniciar tantas plantas como se desee para producir la producción deseada. Esta suposición es consistente con un entorno competitivo. Además, en el modelo de Solow sin crecimiento tecnológico, los rendimientos constantes a escala (CRS) garantizan que la tasa de crecimiento de la producción agregada sea igual a la tasa de crecimiento de la población en estado estacionario.