Me encontré con el white paper de CBOE Metodología del Índice de Dispersión Cboe S&P 500. La fórmula en la Subsección Construcción del Índice/Esquema de la Metodología del Índice de Dispersión en la página 4 que define el índice de dispersión DSPX utiliza una suma $\sum_{i=1}^L w_i\hat\sigma_{i,30}^2$ donde $w_i$ es el peso de capitalización de mercado del constituyente $i$. Eso es desconcertante ya que la varianza de una cartera debería ser cuadrática en $w_i$. ¿Qué me estoy perdiendo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
nosklo
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Esta es una construcción desconcertante e interesante porque es una sobreestimación. A continuación explicaré por qué es una sobreestimación y presentaré una justificación para hacer esta elección, así como una sugerencia de un producto gemelo.
Nota: A continuación vamos a utilizar la configuración de formulación de las notas de conferencias PPT de Avellane Dispersion Trading. Estoy utilizando su configuración y notaciones solamente, pero no su contenido. Las proposiciones a continuación son todas mías. Voy a cambiar la notación del peso de capitalización de mercado de $w_i$ a $p_i$ para respetar las notas de conferencias de Avellane, ya que él usa $w_i$ como el número de acciones.
A lo largo de esta respuesta, tenemos $$p_i,\sigma_i\ge0\, \forall i,\; \sum_ip_i=1.$$ Para el índice $I$ \begin{equation} \frac{dI}I=\sum_ip_i\frac{dS_i}{S_i},\quad p_i\ge0\, \forall i,\; \sum_ip_i=1. \tag1 \end{equation} Él define la dispersión $D$ como \begin{align} D^2 &:= \sum_i p_i\bigg(\frac{dS_i}{S_i}-\frac{dI}I\bigg)^2 \tag2 \\ &=\sum_i p_i\Big(\frac{dS_i}{S_i}\Big)^2-\Big(\frac{dI}I\Big)^2. \label{eq:D^2-} \end{align} donde la segunda ecuación se obtiene simplemente expandiendo la Ecuación $(2)$ y sustituyendo en la Ecuación $(1)$. Supongamos que $dS_i=\sigma_iS_idB_i$ donde $dB_i$ es una variable aleatoria donde $\mathbf E[dB_i^2]=dt$ y $\mathbf E[dB_i,dB_j]=\rho_{i,j}dt, |\rho_{i,j}|\le1$, $\forall i,j$. Sustituyendo estos en la Ecuación $(1)$, tenemos \begin{equation}\label{eq:dI^2expans} \frac1{dt}\mathbf E\Big(\frac{dI}I\Big)^2=\sum_i(p_i\sigma_i)^2+2\sum_{i Tomando la expectativa de $D^2$ junto con la expectativa anterior, obtenemos \begin{equation}\label{eq:D2expans} \frac{\mathbf E[D^2]}{dt}=\sum_i p_i\sigma_i^2-\Big(\sum_i(p_i\sigma_i)^2+2\sum_{i Esta es exactamente la formulación de CBOE ESPX. El cuadrado en la Ecuación $(2)$ implica que \begin{equation}\label{eq:D^2posi} \frac{\mathbf E[D^2]}{dt}\ge0. \tag3
Veamos ahora la siguiente secuencia de desigualdades. \begin{equation}\label{eq:portVolIneq} \sum_ip_i^2\sigma_i^2\le\sum_i(p_i\sigma_i)^2+2\sum_{i para $$\rho_{i,j}\in[0,1],\,\forall i,j.$$ Hacemos esta suposición porque casi todas las acciones en SPX están casi siempre correlacionadas positivamente.
Las primeras dos desigualdades son una simple consecuencia de la positividad de todos los números y de la expansión cuadrática. La última desigualdad se sigue ya sea de la Ecuación $(3)$ que es $\forall\rho_{i,j}$ o cuando $\rho_{i,j}=1,\,\forall i,j$. También se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwartz de la siguiente manera. $$\Big(\sum_ip_i\sigma_i\Big)^2= \Big(\sum_i(\sqrt p_i\sigma_i)\sqrt p_i\Big)^2\le \Big(\sum_i p_i\sigma_i^2\Big) \sum_ip_i=\sum_i p_i\sigma_i^2.$$ La igualdad se logra solo cuando todas las $\sigma_i$ son iguales.
Las dos primeras desigualdades dicen que la varianza del índice está limitada por las varianzas de las carteras ficticias de los constituyentes completamente no correlacionados y completamente correlacionados. La última desigualdad dice que DSPX sobreestima la varianza del índice incluso cuando los constituyentes están completamente correlacionados o, en otras palabras, cuando los constituyentes no están dispersos en absoluto.
¿Por qué usan este límite superior relajado en lugar del límite superior ajustado $\big(\sum_ip_i\sigma_i\big)^2$? Supongo que la ventaja de este límite superior relajado es que se puede construir a partir de instrumentos negociados, ya que las varianzas $\sigma_i^2$ se pueden construir a partir de tiras de opciones de nombre único al igual que VIX$^2$ mientras que necesitamos usar opciones más exóticas como opciones de diferencial para negociar $\big(\sum_ip_i\sigma_i\big)^2$. Podemos construir el límite inferior de la misma manera solo con los pesos al cuadrado. Así que bien podríamos usar este límite inferior para crear otro índice que dé una imagen más completa de la dispersión.
