El modelo de crecimiento de Solow

Question

Me pregunto por qué al principio sf(k(t)) es más empinado que k(), pero en algún momento, comienza a ser más suave que k(t)?

Answer 1

La respuesta: es una suposición
Los modelos Solow suelen asumir que $f$ cumple con las condiciones Inada, de las cuales los puntos 3 y 4 establecen $$ \begin{equation*} \lim_{k \to 0} f'(k) = \infty \\ \lim_{k \to \infty} f'(k) = 0. \end{equation*} $$

Un caso especial frecuente
Si la función de producción $F(K,L)$ es del tipo Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala y tiene parámetros positivos, entonces la función derivada $f(k) = F(K,L)/L$ cumplirá con las condiciones Inada.

Advertencia
Basándose en los gráficos que ven, a veces los estudiantes de economía asumen erróneamente que todas las funciones estrictamente cóncavas tienen estas propiedades, pero esto no es cierto. $f(k) = \sqrt{k} + k$ no tiene la segunda, mientras que $f(k) = \sqrt{1+k}$ no tiene la primera. Por lo tanto, propiedades como que $f$ sea cóncava o no lineal no son suficientes, se deben asumir las condiciones.

Answer 2

Porque $\delta k$ es una función lineal, la pendiente de la función es siempre constante, mientras que $sf(k)$ es típicamente una función no lineal exponencial como $f(k)=k^\alpha$ con $0<\alpha<1$, por lo que matemáticamente dicha función comienza con una pendiente pronunciada, pero esta pendiente siempre se hace más pequeña (esto puede verse en $d/dk= \alpha k^{\alpha -1}$).

Sin embargo, hay que tener en cuenta que dependiendo del valor del parámetro $\delta$, $\delta k$ podría tener una pendiente igual o más pronunciada, pero en tal caso la acumulación de capital es imposible porque el capital se deprecia más rápido de lo que puede ser acumulado dado $s$.