Cobertura de gamma, theta u otros riesgos

Question

Hablando en un alto nivel, en el modelo Black-Scholes la dinámica de valor del beneficio $f\left(T,S_{T}\right)$ está dada por

$$df\left(t,S_{t}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial t}\left(t,S_{t}\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(t,S_{t}\right)\sigma^{2}S_{t}^{2}\right)dt+\frac{\partial f}{dx}\left(t,S_{t}\right)dS_{t},$$

donde $S$ es el proceso de precio actual de un subyacente,$\sigma$ es un parámetro de volatilidad constante. Intentamos capturar esta dinámica con un portafolio replicante de la forma

$$dX_{t}=r\left(X_{t}-\Delta_{t}S_{t}\right)dt+\Delta_{t}dS_{t},$$

donde $r$ es la tasa de interés libre de riesgo constante,$\Delta_{t}$ es la cantidad de subyacente a mantener para construir el portafolio replicante. Para tener $X=f$$\forall t$, $dX_{t}=df_{t}$, tenemos que $\frac{\partial f}{\partial x}\left(t,S_{t}\right)=\Delta_{t}$ y obtenemos una ecuación diferencial parcial para igualar el término de $dt$

$$\frac{\partial f}{\partial t}\left(t,x\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(t,x\right)\sigma^{2}x^{2}=r\left(f(t,x)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(t,x\right)\right),$$

la solución de la EDP da el valor del beneficio $f\left(T,S_{T}\right)$ en $t$, cuando el precio del subyacente es $S_{t}$.

Por lo tanto, en la “derivación” anterior, es razonable decir que al mantener $\Delta_{t}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(t,S_{t}\right)$ en cada $t$, se cubre el riesgo proveniente del cambio en el precio actual. Pero ¿cómo se cubren los riesgos theta y gamma, $\frac{\partial f}{\partial t}\left(t,S_{t}\right)$ y $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(t,S_{t}\right)$? ¿Es justo decir que (teóricamente) estos “riesgos” se cubren a través del acto de solicitar el precio $X_{0}=f\left(0,S_{0}\right)$ para la transacción con el fin de construir un portafolio replicante?

¿Cómo se cubren estos riesgos (gamma, theta, kappa, etc) en la práctica/en la vida real?

Answer 1

En el modelo Black-Scholes, Gamma y teta no necesitan ser cubiertos porque la ecuación diferencial parcial de BS dice que se equilibran mutuamente (tomaré $r = 0$): $$ \frac{\partial f}{\partial t} + \frac12 \sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = 0 $$

La necesidad de cubrir Gamma proviene de una especificación incorrecta del modelo. Lo que significa es esto: Se precio una opción asumiendo que el precio spot satisface $$ dS = \sigma S dW $$ donde $\sigma$ es alguna constante. Sin embargo, la dinámica real del precio spot puede ser $$ dS = \sigma_R S dW, \quad \sigma_R \neq \sigma $$ donde, por simplicidad, asumamos que $\sigma_R$ también es constante, y el subíndice $R$ significa realizado.

Entonces, el cambio en el valor de una posición cubierta en delta es (por cálculo de Ito) $$ df - \frac{\partial f}{\partial S} dS = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac12 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} (dS)^2 $$ Ahora $(dS)^2$ es $\sigma^2_R S^2 dt$, ya que especificamos incorrectamente el modelo, y por la ecuación diferencial parcial de BS $\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac12 \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}$ ya que fijamos el precio de $f$ asumiendo que $dS = \sigma S dW$.

Por lo tanto, la ganancia o pérdida de la posición cubierta en delta es $$ df - \frac{\partial f}{\partial S} dS = \frac12 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \left( \sigma_R^2 - \sigma^2 \right) dt $$

Así que si desea tener una ganancia o pérdida cero, necesitará cubrir Gamma negociando otra opción de tal manera que la cobertura de delta de esa opción genere una ganancia o pérdida de Gamma compensatoria.

En realidad, $\sigma_R$ ni siquiera es constante y obtiene todo tipo de otras términos de ganancia o pérdida, pero el punto principal que debería interiorizar es que los modelos casi seguramente están mal especificados y que se necesitan otras opciones para cubrir la especificación incorrecta, si así lo desea.