Y se prefiere débilmente sobre x si y solo si x+y ≤ 4 define una relación de preferencia en {0,1,2,3} ¿por qué está incompleto esto?

Question

Y es débilmente preferido sobre x si y solo si x+y 4 define una relación de preferencia en {0,1,2,3}. ¿Verdadero o Falso?. Puedo ver por qué no es transitivo, pero me dijeron que era incompleto si tomamos 2 y 3. Si el paquete viola la condición x+y 4 (x 4-y) ¿no significa simplemente que x es débilmente preferido sobre y y, por lo tanto, completo?

Al igual que tratamos con y es débilmente preferido sobre x si y solo si xy en el conjunto X={0,1,2}.

Muchas gracias,

Answer 1

Define el conjunto de alternativas X como X = {0,1,2,3}

Define la relación débilmente preferida en X como

$\succsim : X \to X$ tal que $(\forall x \in X)(\forall y \in X)$, se cumple que

$y \succsim x \iff x+y \leq 4$

La definición de completitud se puede consultar a continuación:- $(\forall x \in X) (\forall y \in X) [ x \neq y \Rightarrow x \succsim y \: \lor y \succsim x] \Rightarrow \: \succsim $ es completa

Claramente, podemos encontrar un contraejemplo para mostrar que $\succsim$ no es completa.

Observa que a partir de la definición de $\succsim$, también se cumple que $\neg (y \succsim x) \iff \neg(x+y \leq 4)$

Un contraejemplo puede ser, $\neg(3 \succsim 2)$ ya que $2+3 > 4$ y $\neg(2 \succsim 3) $ ya que $3+2>4$

Dado que $(\exists x \in X)(\exists y \in X) [x \neq y \land \neg (x \succsim y) \land \neg(y \succsim x)]$ es verdadero, lo cual es la negación de la definición de completitud, se puede concluir que $\succsim$ no es completa.