Puedes explotar condiciones de momentos adicionales no redundantes para las ecuaciones en niveles imponiendo la siguiente suposición de condición inicial: \begin{equation} E[\Delta y_{i2} \alpha_i] = 0 \end{equation} Esta suposición requiere una restricción de estacionariedad en la media en las condiciones iniciales $y_{i1}$.
Recuerda el concepto de una serie media estacionaria: $x_{it}$ es estacionario en media si $E[x_{it}] = E[x_{is}] = \mu < \infty$, donde el primer momento es independiente del tiempo y finito.
Ahora, tomemos el valor esperado de $y_{it}$ condicionado a $\alpha_i$. Debido a la estacionariedad en la media, \begin{equation} E[y_{it}|\alpha_i] = \rho E[y_{it}|\alpha_i] + \alpha_i \end{equation} Finalmente, \begin{equation} E[y_{it}|\alpha_i] = \frac{\alpha_i}{1-\rho}, \end{equation} y este es el valor de estado estacionario de $y_{it}$, donde la serie converge para el individuo $i$.
Aprovechando la restricción en el proceso de condiciones iniciales que genera $y_{i1}$, escribo $y_{i1}$ como \begin{equation} y_{i1} = \frac{\alpha_i}{1-\rho} + e_{i1} \end{equation} con $e_{i1}$ siendo una innovación i.i.d.
Considerando tu proceso generador de datos para el primer período observado (en $t=2$): \begin{equation} y_{i2} = \rho y_{i1} + \alpha_i + \nu_{it} \end{equation}
Restando $y_{i1}$ de ambos lados de esta ecuación: \begin{equation} \Delta y_{i2} = (\rho - 1) y_{i1} + \alpha_i + \nu_{i2} \end{equation} y usando la expresión para $y_{i1}$: \begin{equation} \Delta y_{i2} = (\rho - 1) \left(\frac{\alpha_i}{1-\rho}+ e_{i1}\right) + \alpha_i + \nu_{i2} \end{equation} Y, \begin{equation} \Delta y_{i2} = (\rho - 1) e_{i1} + \nu_{i2} \end{equation}
Así, puedes ver que esta condición de momento es equivalente a la primera: \begin{equation} E[\Delta y_{i2} \alpha_i] = E\{ [(\rho - 1) e_{i1} + \nu_{i2}]\alpha_i \} = 0 \end{equation}
Dado que, al definir el proceso generador de datos, asumiste que las innovaciones $\nu_{it}$ no están correlacionadas con los efectos individuales, la condición de momento se cumple si $E[e_{i1} \alpha_i] = 0$.
De hecho, asumiendo $E[\Delta y_{i2} \alpha_i] = 0$, dada la estructura AR(1), tenemos $E[\Delta y_{is} \alpha_i] = 0$, para $s = 2, \ldots, T$. Para ver esto: \begin{equation} \Delta y_{it} = \rho \Delta y_{i,t-1} + \Delta \nu_{it} = \rho [\alpha \Delta y_{i,t-2} + \Delta \nu_{i,t-1}] + \Delta \nu_{it} = \rho^2 \Delta y_{i,t-2} + \Delta \nu_{it} + \rho \Delta \nu_{i,t-1} \end{equation}
Generalizando, \begin{equation} = \rho^{t-2} \Delta y_{i2} + \sum_{s=0}^{t-3} \rho^s \Delta \nu_{i,t-s} \end{equation} para $t = 3, \ldots, T$. Esto implica condiciones de momento lineales no redundantes adicionales $T - 2$ para las ecuaciones en niveles, que se pueden escribir como \begin{equation} E[ \Delta y_{i,t-1} (\alpha_i +\nu_{it})] = 0 \quad \text{para } t = 3, \ldots, T \end{equation}
Intuición: La suposición de estacionariedad en la media sugiere que las entidades individuales indexadas por $i$ pueden desviarse temporalmente de sus respectivos estados estacionarios. Sin embargo, estas desviaciones no son sistemáticas y, a largo plazo, la serie tiende a converger de nuevo a su estado estacionario $\frac{\alpha_i}{1-\rho}$. Por ejemplo, un efecto fijo positivo solo impulsa consistentemente a $y$ en cada período, similar a cómo la inversión impulsa el stock de capital. Sin embargo, bajo la suposición de que $|\rho| < 1$, este efecto incremental (bajo estacionariedad) se compensa con la reversión a la media a largo plazo.
Las condiciones de momento adicionales de Blundell y Bond(1998): \begin{equation} E[(\alpha_i +\nu_{it}) \Delta y_{i,t-1} ] = 0 \quad \text{para } t = 3, \ldots, T \end{equation}
se pueden reescribir como: \begin{equation} \begin{aligned} E\left[ (\alpha_i + \nu_{it})(y_{it-1} - y_{it-2}) \right] &= E\left[ (\alpha_i + \nu_{it})(\rho y_{it-2} + \alpha_i + \nu_{it-1} - y_{it-2}) \right] \\ &= E\left[ (\alpha_i + \nu_{it})((\rho - 1)y_{it-2} + \alpha_i + \nu_{it-1}) \right] \\ &= E\left[ \alpha_i((\rho - 1)y_{it-2} + \alpha_i) \right] \\ &= 0 \end{aligned} \end{equation}
lo cual es equivalente a: \begin{equation} E\left[ \alpha_i((\rho - 1)y_{it} + \alpha_i) \right] \quad \text{para } t \ge 1 \end{equation}
Dividiendo esta condición por $(1-\rho)$:
\begin{equation} E\left[ \alpha_i \left( y_{it} - \frac{\alpha_i}{1-\rho} \right) \right] = 0 \end{equation}
Las desviaciones de las medias a largo plazo no deben estar correlacionadas con los efectos fijos (debido a la hipótesis de estacionariedad). Si $E\left[ \alpha_i \left( y_{it} - \frac{\alpha_i}{1-\rho} \right) \right] = 0$ se cumple en $ t$, entonces también se cumple en todos los períodos posteriores. Efectivamente, esta es una condición en la observación inicial.
