Estimador de sistema GMM

Question

Considere el modelo lineal dinámico dado por: $$\begin{equation} y_{it} = \rho y_{i,t-1} + \alpha_i + \nu_{it} \end{equation}$$ donde $\alpha_i$ representa efectos fijos individuales. El estimador de GMM de dos pasos impone $0.5(T-1)(T-2)$ restricciones de momento, específicamente: $$\begin{equation} E[y_{i,t-s} \Delta \nu_{it}] = 0 \end{equation}$$ para $t=3,\ldots,T$ y $s \ge 2$.

El estimador System-GMM (Bundell y Bond, 1998) extiende estas restricciones de momento más allá de las ecuaciones diferenciadas de primer orden para incluir también la ecuación de niveles. Esto se logra asumiendo una leve suposición de estacionariedad en la serie $y_{it}$. ¿Puede proporcionar información sobre cómo imponer una suposición de estacionariedad leve en la serie asegura la validez de las siguientes restricciones de momento: $$\begin{equation} E[\Delta y_{i,t-1} (\alpha_i + \nu_{it})] = 0 \end{equation}$$ para $t=3,\ldots,T$

Answer 1

Puedes explotar condiciones de momentos adicionales no redundantes para las ecuaciones en niveles imponiendo la siguiente suposición de condición inicial: $$\begin{equation} E[\Delta y_{i2} \alpha_i] = 0 \end{equation}$$ Esta suposición requiere una restricción de estacionariedad en la media en las condiciones iniciales $y_{i1}$.

Recuerda el concepto de una serie media estacionaria: $x_{it}$ es estacionario en media si $E[x_{it}] = E[x_{is}] = \mu < \infty$, donde el primer momento es independiente del tiempo y finito.

Ahora, tomemos el valor esperado de $y_{it}$ condicionado a $\alpha_i$. Debido a la estacionariedad en la media, $$\begin{equation} E[y_{it}|\alpha_i] = \rho E[y_{it}|\alpha_i] + \alpha_i \end{equation}$$ Finalmente, $$\begin{equation} E[y_{it}|\alpha_i] = \frac{\alpha_i}{1-\rho}, \end{equation}$$ y este es el valor de estado estacionario de $y_{it}$, donde la serie converge para el individuo $i$.

Aprovechando la restricción en el proceso de condiciones iniciales que genera $y_{i1}$, escribo $y_{i1}$ como $$\begin{equation} y_{i1} = \frac{\alpha_i}{1-\rho} + e_{i1} \end{equation}$$ con $e_{i1}$ siendo una innovación i.i.d.

Considerando tu proceso generador de datos para el primer período observado (en $t=2$): $$\begin{equation} y_{i2} = \rho y_{i1} + \alpha_i + \nu_{it} \end{equation}$$

Restando $y_{i1}$ de ambos lados de esta ecuación: $$\begin{equation} \Delta y_{i2} = (\rho - 1) y_{i1} + \alpha_i + \nu_{i2} \end{equation}$$ y usando la expresión para $y_{i1}$: $$\begin{equation} \Delta y_{i2} = (\rho - 1) \left(\frac{\alpha_i}{1-\rho}+ e_{i1}\right) + \alpha_i + \nu_{i2} \end{equation}$$ Y, $$\begin{equation} \Delta y_{i2} = (\rho - 1) e_{i1} + \nu_{i2} \end{equation}$$

Así, puedes ver que esta condición de momento es equivalente a la primera: $$\begin{equation} E[\Delta y_{i2} \alpha_i] = E\{ [(\rho - 1) e_{i1} + \nu_{i2}]\alpha_i \} = 0 \end{equation}$$

Dado que, al definir el proceso generador de datos, asumiste que las innovaciones $\nu_{it}$ no están correlacionadas con los efectos individuales, la condición de momento se cumple si $E[e_{i1} \alpha_i] = 0$.

De hecho, asumiendo $E[\Delta y_{i2} \alpha_i] = 0$, dada la estructura AR(1), tenemos $E[\Delta y_{is} \alpha_i] = 0$, para $s = 2, \ldots, T$. Para ver esto: $$\begin{equation} \Delta y_{it} = \rho \Delta y_{i,t-1} + \Delta \nu_{it} = \rho [\alpha \Delta y_{i,t-2} + \Delta \nu_{i,t-1}] + \Delta \nu_{it} = \rho^2 \Delta y_{i,t-2} + \Delta \nu_{it} + \rho \Delta \nu_{i,t-1} \end{equation}$$

Generalizando, $$\begin{equation} = \rho^{t-2} \Delta y_{i2} + \sum_{s=0}^{t-3} \rho^s \Delta \nu_{i,t-s} \end{equation}$$ para $t = 3, \ldots, T$. Esto implica condiciones de momento lineales no redundantes adicionales $T - 2$ para las ecuaciones en niveles, que se pueden escribir como $$\begin{equation} E[ \Delta y_{i,t-1} (\alpha_i +\nu_{it})] = 0 \quad \text{para } t = 3, \ldots, T \end{equation}$$

Intuición: La suposición de estacionariedad en la media sugiere que las entidades individuales indexadas por $i$ pueden desviarse temporalmente de sus respectivos estados estacionarios. Sin embargo, estas desviaciones no son sistemáticas y, a largo plazo, la serie tiende a converger de nuevo a su estado estacionario $\frac{\alpha_i}{1-\rho}$. Por ejemplo, un efecto fijo positivo solo impulsa consistentemente a $y$ en cada período, similar a cómo la inversión impulsa el stock de capital. Sin embargo, bajo la suposición de que $|\rho| < 1$, este efecto incremental (bajo estacionariedad) se compensa con la reversión a la media a largo plazo.

Las condiciones de momento adicionales de Blundell y Bond(1998): $$\begin{equation} E[(\alpha_i +\nu_{it}) \Delta y_{i,t-1} ] = 0 \quad \text{para } t = 3, \ldots, T \end{equation}$$

se pueden reescribir como: $$\begin{equation} \begin{aligned} E\left[ (\alpha_i + \nu_{it})(y_{it-1} - y_{it-2}) \right] &= E\left[ (\alpha_i + \nu_{it})(\rho y_{it-2} + \alpha_i + \nu_{it-1} - y_{it-2}) \right] \\ &= E\left[ (\alpha_i + \nu_{it})((\rho - 1)y_{it-2} + \alpha_i + \nu_{it-1}) \right] \\ &= E\left[ \alpha_i((\rho - 1)y_{it-2} + \alpha_i) \right] \\ &= 0 \end{aligned} \end{equation}$$

lo cual es equivalente a: $$\begin{equation} E\left[ \alpha_i((\rho - 1)y_{it} + \alpha_i) \right] \quad \text{para } t \ge 1 \end{equation}$$

Dividiendo esta condición por $(1-\rho)$:

$$\begin{equation} E\left[ \alpha_i \left( y_{it} - \frac{\alpha_i}{1-\rho} \right) \right] = 0 \end{equation}$$

Las desviaciones de las medias a largo plazo no deben estar correlacionadas con los efectos fijos (debido a la hipótesis de estacionariedad). Si $E\left[ \alpha_i \left( y_{it} - \frac{\alpha_i}{1-\rho} \right) \right] = 0$ se cumple en $t$, entonces también se cumple en todos los períodos posteriores. Efectivamente, esta es una condición en la observación inicial.

Answer 2

Sin estacionariedad, la condición del momento no es válida. Podemos considerar el caso donde $\rho=1$. Entonces $\Delta y_{it}=\alpha_i + \nu_{it}$ y $$E[\Delta y_{i,t-1} (\alpha_i + \nu_{it})] = E[ (\alpha_i + \nu_{i,t-1}) (\alpha_i + \nu_{it})],$$ lo cual es no negativo si $\nu_{it}$ no está correlacionado con $(\alpha_i,\nu_{i,t-1})$.

EDITAR: Con estacionariedad media, como se define en la publicación de Tony, se sigue que $E[y_{it}|\alpha_i] = \rho E[y_{i,t-1}|\alpha_i] + \alpha_i,$ y por lo tanto, $$\Delta E[ y_{i,t-1} | \alpha_i ] = \rho \Delta E[ y_{i,t-2} | \alpha_i )] = 0,$$ por lo tanto $E[ \Delta y_{i,t-1} \alpha_i ] = 0$. Si además $E[ \Delta y_{i,t-1} \nu_{i,t} ] = 0,$ entonces $$E[ \Delta y_{i,t-1} ( \alpha_i+\nu_{i,t} ) ] = 0.$$