Encontrar el equilibrio competitivo en una economía de intercambio con dos complementos perfectos

Question

Actualmente estoy en una clase de Microeconomía y me he encontrado con el problema descrito a continuación. He intentado resolver el problema algebraicamente pero solo llego a la intersección (x1a,x2a)=(8,4). Sé que esta no es la única solución, ¡así que agradecería cualquier ayuda!

Considera una economía de intercambio con dos bienes (1 y 2) y dos consumidores (A y B). Las preferencias de los dos consumidores son:

El consumidor A posee k1 del bien 1 y k2 del bien 2. El consumidor B posee solo 12-k1 del bien 1 y 12-k2 del bien 2. Primero, resuelve el problema de maximización de la utilidad de cada consumidor. Luego, encuentra todos los equilibrios competitivos de esta economía para cualquier k1, k2 entre 0 y 12. Finalmente, caracteriza la curva de contrato de esta economía.

Answer 1

Dada una economía de intercambio puro con

• $u_A(x_A,y_A)=\min(x_A,2y_A)$, $u_B(x_B,y_B)=\min(2x_B,y_B)$
• La dotación de A es $(k_X,k_Y)$ y la de B es $(12-k_X,12-k_Y)$

El conjunto de asignaciones factibles es $\mathcal{F} = \{((x_A,y_A),(x_B,y_B))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_A+x_B=y_A+y_B=12\}$

Aquí está la representación gráfica de la caja de Edgeworth de las asignaciones factibles y el conjunto de asignaciones eficientes:

Para determinar el equilibrio competitivo, podemos considerar los siguientes casos para las dotaciones.

Caso 1: $k_X\leq 8, k_Y\geq 4, (k_X,k_Y)\neq (8,4)$

En este caso, dada $(k_X,k_Y)$, hay una asignación de equilibrio competitivo única $((x_A,y_A),(x_B,y_B))=((8,4),(4,8))$ respaldada por los precios $(p_X,p_Y)=(k_Y-4,8-k_X)$.

Caso 2: $(k_X,k_Y)= (8,4)$

En este caso, hay una asignación de equilibrio competitivo única $((x_A,y_A),(x_B,y_B))=((8,4),(4,8))$ y puede ser respaldada por cualquier par de precios del conjunto $\{(p_X,p_Y)\in\mathbb{R}^2_+|p_X+p_Y=1\}$.

Caso 3: $k_X\geq 8, k_Y \leq 4, (k_X,k_Y)\neq (8,4)$

En este caso, dada $(k_X,k_Y)$, hay tres conjuntos de equilibrios competitivos:

(i) $((x_A,y_A),(x_B,y_B))=((8,4),(4,8))$ y es respaldada por los precios $(p_X,p_Y)=(4-k_Y,k_X-8)$.

(ii) Las asignaciones en el conjunto $\{((x_A,y_A),(x_B,y_B))\in\mathcal{F}|y_A=k_Y, 2k_Y\leq x_A\leq \frac{k_Y+12}{2}\}$ son respaldadas por los precios $(p_X,p_Y)=(0,1)$

(iii) Las asignaciones en el conjunto $\{((x_A,y_A),(x_B,y_B))\in\mathcal{F}|x_A=k_X, \frac{k_X}{2}\leq y_A\leq 2k_X-12\}$ son respaldadas por los precios $(p_X,p_Y)=(1,0)$

Caso 4: $k_X> 8, k_Y > 4$

En este caso, dada $(k_X,k_Y)$, las asignaciones en el conjunto $\{((x_A,y_A),(x_B,y_B))\in\mathcal{F}|x_A=k_X, \frac{k_X}{2}\leq y_A\leq 2k_X-12\}$ son respaldadas por los precios $(p_X,p_Y)=(1,0)$

Caso 5: $k_X< 8, k_Y < 4$

En este caso, dada $(k_X,k_Y)$, las asignaciones en el conjunto $\{((x_A,y_A),(x_B,y_B))\in\mathcal{F}|y_A=k_Y, 2k_Y\leq x_A\leq \frac{k_Y+12}{2}\}$ son respaldadas por los precios $(p_X,p_Y)=(0,1)$