Lo que propones no es maximizar los beneficios. Consideremos una desviación de su propuesta en la que la empresa contrata una unidad menos del préstamo de mercado. Entonces la pérdida marginal de producción es $r_i$ mientras que el ahorro marginal en costes es $r_m > r_i$ . De este modo, la empresa puede aumentar estrictamente sus beneficios reduciendo el importe de los préstamos de mercado.
El problema para la empresa es el siguiente: $$ \max F(k_m + k_b) - r_b k_b - r_m k_m \\\text{ subject to } k_b \le k_0, k_b \ge 0, k_m \ge 0 $$ donde $k_m$ es el importe de los préstamos de mercado y $k_b$ es el importe de los préstamos bonificados (que tiene un límite máximo del $k_0$ ).
El Langrangiano es $$ L = F(k_m + k_b) - r_b k_b - r_m k_m - \lambda(k_0 - k_b) + \mu_b k_b + \mu_m k_m $$ Las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker son \begin{align*} &F'(k_m + k_b) +\lambda + \mu_b = r_b,\\ &F'(k_m + k_b) + \mu_m = r_m\\ &\lambda(k_0 - k_b) = 0,\\ &\mu_b k_b = 0,\\ &\mu_m k_m = 0 \end{align*} $$
Si $\lambda = \mu_b > 0$ entonces $k_b = 0$ y $k_b = k_0$ lo cual es imposible.
Hay varios casos a tener en cuenta:
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$\lambda = 0, \lambda_b > 0, \mu_m > 0$ . En este caso tenemos que $k_b = 0$ y $k_m = 0$ . Esto sólo puede ser si $$ F'(0) + \mu_b = r_b \text{ and } F'(0) + \mu_m = r_m, $$ Así que $F'(0) < r_b < r_m$ . En este caso, simplemente es demasiado costoso pedir prestado algo.
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$\lambda = 0$ , $\mu_b > 0$ y $\mu_m = 0$ . En este caso, $k_b = 0$ . Entonces $$ F'(k_m) + \mu_b = r_b \text{ and } F'(k_m) = r_m $$ Pero entonces $r_m = F'(k_m) < r_b$ lo cual es imposible. Así que este caso queda descartado.
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$\lambda >0$ , $\mu_b = 0$ , $\mu_m > 0$ . Aquí $k_m$ es igual a cero, $k_b = k_0$ y $k_m = 0$ . Entonces $$ F'(k_0) + \lambda = r_b \text{ and } F'(k_0) + \mu_m = r_m. $$ En este caso, la empresa asumirá la totalidad del préstamo bonificado. Sin embargo, asumir un importe adicional del préstamo de mercado sería demasiado costoso, ya que $r_m > F'(k_0)$ . Aquí aumentando $k_0$ aumentará los beneficios a medida que $\lambda > 0$ y aumentando $k_0$ también aumentará la producción total $F(k_0)$ .
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$\lambda > 0$ , $\mu_b = 0$ , $\mu_m = 0$ . En este caso tenemos que $k_b = k_0$ y $$ F'(k_0 + k_m) + \lambda = r_b \text{ and } F'(k_0 + k_m) = r_m. $$ Este es el caso de la figura. La empresa asumirá todo el importe $k_0$ y algunos préstamos adicionales $k_m$ . Ahora, observe que si $k_0$ aumenta (y seguimos en el caso 4) seguimos teniendo que $F'(k_0 + k_m) = r_m$ . Así que la cantidad total de capital $k_0 + k_m$ debe permanecer constante. Esto significa que el aumento de $k_0$ se compensa totalmente con una disminución igual de $k_m$ . Los beneficios aumentarán $(\lambda > 0)$ pero la cantidad total de capital y la producción total $F(k_0 + k_m)$ no cambiará.
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$\lambda = 0, \mu_b = 0, \mu_m = 0$ . En este caso, $$ F'(k_b + k_m) = r_b \text{ and } F'(k_b + k_m) = r_m, $$ lo cual es imposible ya que $r_b < r_m$ .
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$\lambda = 0, \mu_b = 0$ y $\mu_m > 0$ . En este caso, $k_m = 0$ Así que $$ F'(k_b) = r_b \text{ and } F'(k_b) + \mu_m = r_m, $$ En esta situación, la empresa sólo aceptará préstamos bonificados hasta el punto en que $F'(k_b) = r_b$ . Aumentar $k_0$ no tendrá ningún efecto, ya que la restricción $k_b \le k_0$ no es vinculante en el punto óptimo.
