Continuidad de la preferencia

Question

"Una preferencia es continua si para cualquier $a,b\in X$ con $a\succsim b$ hay algunos barrios $N_{\varepsilon}(a)$ , $N_{\delta}(b)$ en torno a $a$ y $b$ tal que para cada $x \in N_{\varepsilon}(a)$ , $y\in N_{\delta}(b)$ tenemos $x\succsim y$ "

¿Es eso cierto y para qué sirve la preferencia continua? Póngame un ejemplo.

Answer 1

Sería con estricta preferencia, de lo contrario siempre se podría demostrar que no se sostiene, tomando $a=b$ o incluso dos puntos cualesquiera en los que $a \sim b$ .

Bueno, entonces eso sería cierto simplemente porque es la definición de preferencia continua.

Un ejemplo sería literalmente cualquier función de utilidad continua sobre su dominio, como por ejemplo $x+y$ , $x^\frac{1}{3} y^\frac{2}{3}$ , $\log(x) + \log(y), \text{min}\{x,y\}$ y muchos más.

Es mucho más interesante pensar en los no-ejemplos.

Un no-ejemplo es $U(x,y) = x + y$ donde $•$ es la función floor, que redondea el argumento al entero anterior.

Trabajemos con la métrica euclidiana $d(•,•)$ en ${\mathbb{R}^+}^2$ .

Tomemos $a = (1,1)$ y $b = (1,0)$ .

Tenemos $U(a) = 2 > 1 = U(b)$ Por lo tanto $a \succ b$

Ahora dejemos que $\epsilon \in (0,2) $ ser arbitraria.

Sea $x = (1-\frac{\epsilon}{2},1-\frac{\epsilon}{2})$ .

Tenemos que $d(x,a) = \sqrt{2 (\frac{\epsilon}{2})^2} = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}} < \epsilon$ Por lo tanto $x \in N_\epsilon (a)$ .

Nota $1-\frac{\epsilon}{2} \in (0,1)$ Por lo tanto $1-\frac{\epsilon}{2} = 0$ .

Por lo tanto, $U(x) = 1-\frac{\epsilon}{2} < 1 = U(b)$ Por lo tanto $b \succ x$ .

Obsérvese que un punto siempre pertenece a su propia vecindad, por lo que acabamos de hallar $(a,b) \in {\mathbb{R}^+}^2 $ con $a \succ b$ tal que para un valor arbitrariamente pequeño $\epsilon, \delta > 0$ siempre podemos encontrar $x$ (y $y = b$ ) tal que $x \in N_\epsilon (a)$ y $y \in N_\delta (b)$ pero $y \succ x$ .

Por lo tanto, podemos concluir que las preferencias representadas por esta función de utilidad no son continuas.

Lo mismo puede demostrarse para las preferencias lexicográficas para cualquier punto de la forma $a = (c,a_2), b = (c,b_2)$ donde $a_2 > b_2$ como $(c-\frac{\epsilon}{2},a_2) \in N_\epsilon (a)$ para un valor arbitrariamente pequeño de $\epsilon >0$ como $a \succ b$ pero $b \succ (c-\frac{\epsilon}{2},a_2)$ .

Algunas de las finalidades de las preferencias continuas son poder dibujar curvas de indiferencia agradables y que exista un equilibrio walrasiano en las economías de intercambio puro. Esto último también requiere convexidad estricta y monotonicidad estricta.