Integrar una estadística suficiente

Question

Tengo algunos problemas matemáticos con el documento Riesgo moral en los equipos 1982. ¿Cómo puedo pasar de (2) a (1) integrando y por qué es necesario el calificativo "para casi todos"?

$$g(y,a)=h_i(y,a_{-i})*p_i(T_i(y),a) \qquad (1) $$

$$\frac{g_{ai}(y_1,a)}{g(y_1,a)}=\frac{g_{ai}(y_2,a)}{g(y_2,a)} \qquad \text{for almost all} ~ y_1,y_2 \in \{y \vert T_i(y)=T_i \} \qquad (2) $$

¿Cómo integrar (2) para obtener (1) o cómo utilizar la derivada parcial para llegar de (1) a (2)?

Gracias de antemano y perdón por mi mal inglés. no soy hablante nativo. si hay alguna ambigüedad con la pregunta por favor hágamelo saber :)

Answer 1

El hecho de que $$ \frac{g_{a_i}(y,a)}{g(y,a)}, $$ es el mismo para todos $y$ para lo cual $T_i(y) = T_i$ implica que la fracción puede escribirse en función del valor de $T_i(y)$ y $a$ solo.

Así que hay alguna función $P_i(T_i(y),a)$ tal que: $$ \frac{g_{a_i}(y,a)}{g(y,a)} = P_i(T_i(y),a). $$ Ahora el lado izquierdo es igual a la derivada de $\ln(g(y,a))$ con respecto a $a_i$ Así que $$ \frac{\partial \ln(g(y,a))}{\partial a_i} = P_i(T_i(y),a). $$ Podemos integrar ambos lados con respecto a $a_i$ , $$ \ln(g(y,a)) = K_i(T_i(a),a) + C_i(y,a_{-i}), $$ donde $K_i(T_i(y),a) = \int P_i(T_i(y),a) d a_i$ y donde $C_i(y,a_{-i})$ es la constante de integración, que puede depender tanto de $y$ y $a_{-i}$ (pero no en $a_i$ ya que es la variable sobre la que se está integrando). Entonces, $$ g(y,a) = e^{K_i(T_i(y),a)} e^{C_i(y,a_{-i})}. $$ Ahora denotemos $p_i(T_i(y),a) = e^{K_i(T_i(y),a)}$ y $h_i(y,a_{-i}) = e^{C_i(y,a_{-i})}$ para llegar al resultado.

Answer 2

Añado a la gran respuesta de tdm algunas especificaciones sobre el término para casi todos los porque es muy importante en el análisis matemático y en la teoría de la probabilidad, y es muy probable encontrarlo en textos o trabajos. $$\;$$

¿por qué es necesario el calificativo "para casi todos"?

para casi todos los en matemáticas significa lo mismo que en casi todas partes (normalmente abreviado como a.e. ).

Se trata de un concepto relacionado con teoría de medidas . La teoría de la medida es una rama de las matemáticas que, a grandes rasgos, tiene como objetivo establecer la "extensión" de un conjunto, se puede pensar que es una generalización del concepto de área o de longitud de un segmento.

La teoría de medidas define sobre algunos subconjuntos una función, a medir que asigna a los subconjuntos un número real o $+\infty$ (es decir, un elemento del línea real extendida ).

Formalmente, un (real) _medir _m__ se define como función set como

$$ m: \Omega \rightarrow [0, +\infty]$$ donde $\Omega$ suele ser un álgebra sigma de subconjuntos, tal que $m(\emptyset)=0$ y la función $m$ tiene la propiedad de sigma-additividad . $$\;$$

El término en casi todas partes define una propiedad que se define en un conjunto, excepto en un subconjunto de medida cero . Más formalmente:

Para un conjunto medible $E$ decimos que se cumple una propiedad casi en todas partes en $E$ o es válida para casi todos los $x\in E$ siempre que exista un subconjunto $E_0$ de $E$ para lo cual $m(E_0)=0$ y la propiedad se cumple para todo $x\in E \sim E_0$ . $^1$

Por ejemplo, se pueden definir igualdades entre entidades matemáticas en casi todas partes lo que significa que son iguales excepto en un subconjunto de medida cero: dos funciones pueden ser iguales a.e. y este tipo de igualdad es muy importante en el análisis real. Es una parte de la teoría de la medida necesaria para construir la Integral de Lebesgue que es un concepto más general de integral con respecto a Integral de Riemann .

Hay muchos tipos de medidas. Normalmente, cuando no se especifica lo contrario, se habla de Medida de Lebesgue .

Hay muchos resultados importantes del análisis matemático relacionados con los conjuntos de medida cero. Uno de los más importantes es el

Teorema ( Lebesgue ) Sea $f$ sea una función acotada en el intervalo cerrado y acotado $[a,b]$ Entonces $f$ es integrable de Riemann sobre [a,b] si y sólo si el conjunto de los puntos de [a,b] en los que $f$ no es continua tiene medida cero. $^2$

$$\;$$

La teoría de la medida se utiliza en teoría de la probabilidad A veces, la teoría de la probabilidad se considera parte de la teoría de la medida. $^3$

No puedo leer el artículo que mencionas, pero supongo que utiliza teoría de la medida e integral de Lebesgue.

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$^1$ Royden H. L., Fitzpatrick P. M., Análisis real , Prentice Hall, 2010, p. 45. el signo $\sim$ aquí está el establecer diferencia .

$^2$ Ibid. p. 104. No piense de medida cero como sinónimo de pequeño por ejemplo, en el sentido de cardinalidad de un conjunto. Los conjuntos infinitos también pueden tener medida cero: un conjunto infinitamente contable tiene medida cero.

$^3$ Una referencia estándar es Billingsley, Probabilidad y medida Wiley, 1995.