Optimización intertemporal de la utilidad de múltiples bienes

Question

Estoy construyendo un juego de simulación económica e intento resolver los valores que una persona gastará en cada bien y la cantidad que ahorrará en el periodo actual, teniendo en cuenta todos los periodos de consumo futuros que le quedan en la vida.

Dado

• 2 productos (añadiré más más adelante):
  • comida: $U(F) = F^{0.25}$ F = cantidad de alimentos consumidos
  • bienes de lujo: $U(L) = L^{0.75}$ L = cantidad de bienes de lujo consumidos
• La renta I es constante y esperada cada periodo
• N es el número de periodos que quedan en la vida laboral/de consumo
• r es el tipo de interés
• nivel de impaciencia, 0<<=1
• Estoy calculando el gasto monetario aquí, y lo convertiré a cantidades (dados los precios) más tarde

He visto y resuelto una optimización de la función de utilidad de dos bienes en un plazo de 1 período y por separado una optimización de la función de utilidad intertemporal del mismo bien en 2 periodos, pero nunca las he visto combinadas, que es como intento resolver este problema.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

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Utilidad -------

Combino la optimización de la utilidad de dos bienes y la optimización de la utilidad intertemporal del mismo bien en dos periodos. Estoy manteniendo dos periodos consolidando todos los periodos de consumo futuro en una función de utilidad de "consumo futuro" de valor presente para cada bien, pero no estoy seguro de estar haciéndolo correctamente, o de si tiene sentido:

$U_{globalIntertemporal}(F_{current}, F_{future}, L_{current}, L_{future}) = U(F_{current}) + U(F_{future}) + U(L_{current}) + U(L_{future})$

$U(F_{current}) = F_{current}^{0.25}$

$U(L_{current}) = L_{current}^{0.75}$

$U(F_{future}) = \sum_{t=1}^N (^t)*(F_{future}^{0.25})$ Utilizando la fórmula de la suma de series geométricas finitas, $S_n = a_1\frac{1r^n}{(1r)}$ , r1 Creo que puedo simplificar a

• $a_1 = (^1)(F_{future}^{0.25})$

• $r =$

$U(F_{future}) = \frac{(^1)(F_{future}^{0.25})(1-^N)}{(1-)}$

$U(L_{future}) = \frac{(^1)(L_{future}^{0.75})(1-^N)}{(1-)}$

Entonces,

$U_{globalIntertemporal}(F_{current}, F_{future}, L_{current}, L_{future}) = F_{current}^{0.25} + \frac{^1(F_{future}^{0.25})(1-^N)}{(1-)} + L_{current}^{0.75} + \frac{^1(L_{future}^{0.75})(1-^N)}{(1-)}$

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Limitación presupuestaria -----------------

En una optimización de la utilidad intertemporal del consumo de un bien en dos periodos, hay dos restricciones presupuestarias, una para cada periodo, que se consolidan en 1. Así que aquí haré lo mismo:

Restricción presupuestaria del periodo en curso

$F_{current} + L_{current} + S_{current} = I, S_{current}$ = ahorro del periodo en curso

Restricción presupuestaria del período futuro

$F_{future} + L_{future} = I_{future} + (1+r)*S_{current}$

Valor de los ingresos futuros

$I_{future} = \sum_{t=1}^N \frac{I}{(1+r)^t}$ geo series finitas --> $\frac{I}{1+r}*\frac{1-(\frac{1}{(1+r)})^N}{1-\frac{1}{1+r}}$

**Wolphram Alpha simplifica a**

$I_{future} = \frac{I-I(1+r)^{-N}}{r}$

eliminar la variable de ahorro actual

$S_{current} = I - F_{current} - L_{current}$

introdúzcalo en la ecuación de restricción presupuestaria futura y aísle las constantes I, N y r

$F_{future} + L_{future} = \frac{I-I(1+r)^{-N}}{r} + (1+r)*(I - F_{current} - L_{current})$

$\frac{F_{future}}{1+r} + \frac{L_{future}}{1+r} + F_{current} + L_{current} = \frac{I-I(1+r)^{-N}}{r(1+r)} + I$

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Resumen del problema ---------------

Max $U_{globalIntertemporal}(F_{current}, F_{future}, L_{current}, L_{future}) = F_{current}^{0.25} + \frac{^1F_{future}^{0.25}*(1-^N)}{1-} + L_{current}^{0.75} + \frac{^1L_{future}^{0.75}(1-^N)}{1-}$

Sujeto a restricciones presupuestarias $\frac{F_{future}}{1+r} + \frac{L_{future}}{1+r} + F_{current} + L_{current} = \frac{I-I(1+r)^{-N}}{r(1+r)} + I$

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Solución Inicio --- Lagrangiano $L = U_{globalIntertemporal}(F_{current}, F_{future}, L_{current}, L_{future}) + (\frac{F_{future}}{1+r} + \frac{L_{future}}{1+r} + F_{current} + L_{current} - \frac{I-I(1+r)^{-N}}{r(1+r)} - I)$

Lo haré:

• hallar las derivadas parciales de L con respecto a cada variable de consumo y fijarlas iguales a .
• set (restricción presupuestaria) = 0
• resolver variables

¿Mis suposiciones y mi solución van por buen camino? ¿Debería hacer algo diferente? Muchas gracias.

Answer 1

Creo que estás asumiendo implícitamente que el nivel de consumo a partir del periodo 2 se mantendrá constante. En general, no será así (por ejemplo, si $\beta$ es inferior a $1/(1+r)$ disminuirá el consumo con el tiempo al ser más impaciente en relación con el tipo de interés).

Poner $F_t$ y $L_t$ ser el consumo de $F$ y $L$ en periodo $t$ tienes que resolver el siguiente problema: $$\max_{F_0, \ldots, F_T, L_0, \ldots, L_T} \sum_{t = 0}^T \beta^t ((F_t)^{0.25} + (L_t)^{0.75}),\\ \text{ subject to } \sum_{t = 0}^T \frac{L_t + F_t}{(1+r)^t} = \sum_{t = 0}^T \frac{I_t}{(1+r)^t},\\ F_t, L_t \ge 0$$ Los niveles óptimos de $F_t$ y $L_t$ puede hallarse utilizando las condiciones de optimalidad habituales.

Si tiene muchos periodos de tiempo, quizá sea mejor plantear el problema mediante programación dinámica. En tu caso, la ecuación de Bellman tiene la forma: $$V_t(S_t) = \max_{L_t, F_t} \left[(F_t)^{0.25} + (L_t)^{0.75} + \beta V_{t+1}(S_{t+1})\right] \text{ s.t. } S_{t+1} = (1+r)(S_t + I_t - L_t - F_t).$$ Junto con el valor terminal $V_{T+1}(S_{T+1}) = 0$ (y valor inicial $S_0 = 0$ ).

Las funciones $V_T(.), \ldots V_1(.)$ puede resolverse recursivamente a partir del período $T$ al período $1$ (numéricamente).